Ks HSG Toán 6 năm 1999-2000

Phòng giáo dục
Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 6

Trường thcs
Năm học: 1999-2000
gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Giáo viên ra đề : Nguyễn Văn Hải
Câu 1
Chứng minh rằng
a) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4.
b) Trong 4 số tự nhiên tùy ý bao giờ cũng có ít nhất 2 số có hiệu chia hết cho 3.
Câu 2.
Một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng từ 350 đến 500 người tham gia. Khi tổng chỉ huy xếp hàng 5, hàng 6 và hàng 8 thì thấy đều lẻ 1 người. Khi cho đoàn người xếp hàng 13 thì vừa không lẻ người nào. Hỏi số người dự đồng diễn chính xác là bao nhiêu?
Câu 3.
a) Tính tổng:Sn =1+a+a2+a3 +….+an.
b) Ap dụng tính tổng sau:
S =1- 2 + 22 - 23 +…+ 2100
T=3- 32 + 33 +….+ 31999- 32000.
Câu 4.
a) Cho bốn điểm A1,A2,A3,A 4 trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ được một đường thẳng. Có bao nhiêu đường thẳng?
b) Cũng hỏi như thế với 5 điểm,10 điểm?
-------------------------------------------




















Đáp án và thang điểm


Câu 1 : (2,5điểm )
a) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là :
S = a+ (a+1) +(a+2) +(a+3) =4a +6 (0,25đ)
Bởi vì 6 không chia hết cho 4 suy ra S không chia hết cho 4 (0,25đ)
b) Giả sử 4 số tự nhiên tùy ý là (0,25đ)
Chia các số dư này cho 3 ta được các số dư là 0(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Vì các sốchỉ nhận một trong các giá trị 0,1,2 nên chắc chắn có ít nhất hai số bằng nhau.
Giả sử thế thì 3(0,25đ)
Đó là điều phải chứng minh
Câu 2: (2,5 điểm)
Nếu số người tham dự đồng đồng diễn là n. Khi xếp hàng 5 mỗi hàng k người thì lẻ 1 người tức là: n = 5. k+1 => n-1=5k => n-1
lập luận tương tự ta thấy n-1và n-1(0,25đ)
vậy n-1 là một bội chunh của 5,6,8. Ta có BCNN (5 , 6 , 8) = 120. Mọi bội chung của 5,6,8 đều là bội của 120. Điều này nghĩa là số n phải thỏa mãn các điều kiện
n-1= 120k, (0,25) (1 )
Nếu n-1 = 360 => n =361 (loại ) (0,25đ)
Nếu n-1 = 480 => n= 481 (nhận) (0,25đ)
Vậy số người tham gia đồng diễn là 481 người. (0,25đ)
Câu 3: (2,5điểm )
a) Xét tổng : Sn= 1+a+a2 + …+ an (0,25đ)
khi a= 1 ta có ngay : Sn= n+1
khi :
a.Sn= a + a2+ …+ an +an+1 => a .Sn – Sn = an+1 -1 => Sn= (0,75đ)
b) áp dụng : S100 = 1+a +a2 + …+ a100 = (0,25đ)