Đề thi HSG cấp huyện 2010-2011 có đáp án

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
-----------------------------

Bài 1: ( 5 điểm)

Thực hiện tính A bằng cách nhanh( hợp lý) nhất:
A =

2. Thực hiện phép tính:
B =

Bài 2: (5 điểm)

Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220
Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5.
Tìm chữ số tận cùng của M.

Bài 3: ( 5 điểm )

Tìm tất cả các số nguyên n sao cho :
n + 5
n – 2
2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho :
(2x + 1)(y – 3) = 10

Bài 4: ( 5 điểm)

Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm giữa A và B, điểm M là trung điểm của AC , điểm N là trung điểm của CB. Hãy chứng tỏ rằng MN =
.
Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại I. So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC.



-------------------------------








HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: ( 5 điểm)

1) Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất:
A =
=

=

2) Thực hiện phép tính:
B =
= 33.
.
= 33.
=


Bài 2: (5 điểm)

Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220
a) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5 :
M = 2 + 22 + 23 + … + 220
= (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + … + (217 + 218 + 219 + 220)
= 2.(1 + 2 + 22 + 23 ) + 25.(1 + 2 + 22 + 23) + … +217.(1 + 2 + 22 +23)
= 2. 15 + 25.15 + …+ 217.15
= 15. 2(1 + 24 + …+ 216)
= 3 . 5 .2 .(1 + 24 + …+ 216)
5

b) Tìm chữ số tận cùng của M:
Dễ thấy M
2 ; M
5 mà ƯCLN( 2; 5) = 1 nên M
10.
Do đó M tận cùng bằng chữ số 0.

Bài 3: ( 5 điểm )

1) Ta có : n + 5 = (n – 2) + 7
n – 2
7
n – 2

n – 2
Ư(7) =

n – 2
1
-1
7
-7

n
3
1
9
-5


Vậy : n



2) Ta có x , y
N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước của 10. Hơn nữa 2x + 1 > 0 và là số lẻ nên 10 = 1 . 10 = 5 . 2
Do đó :
hoặc

Suy ra :
hoặc


Bài 4: ( 5 điểm)

1) M là trung điểm của AC nên : AM = MC =
.AC
N là trung điểm của CB nên : CN = NB =
.CB
Suy ra : MC + CN =
( AC + CB )
C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N .
C nằm giữa M và N
MC + CN = MN
C nằm giữa A và B
AC + CB = AB = a
Do đó : MN =
.
2) Nối BD. Ta có : SBDC = SADC ( cùng đáy DC và chiều cao BH bằng AD)
SBDH = SDBA (=
SABHD) ; SDBA = SIAD ( cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau)
Do đó :
SBHC = SBDC – SBDH = SBDC - SDBA = SADC – SIAD = SIDC
Vậy : SBHC = SIDC .