Chương I. §10. Trung điểm của đoạn thẳng

Trung điểm của đoạn thẳng
Điểm M nằm giữa 2 điểm A, B và cách đều hai điểm A, B thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB
A
B
M
Trung điểm của đoạn thẳng
Tính chất Nếu M là trung điểm của AB

thì AM=MB=
A
B
M
Trung điểm của đoạn thẳng
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB biết AB=11cm. Tính AM ?
A
B
M
Trung điểm của đoạn thẳng
Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB biết ID=7cm. Tính CD ?
C
D
I
Bài 1
Trên tia Ox lấy điểm A , B sao cho OA= 3 cm; OB= 6cm. Hỏi điểm A có là trung điểm của OB không? Vì sao?
Lời giải bài 1
Ta có trên tia Ox có điểm A và B mà OAnên OA+AB=OB=>3+AB=6 =>AB=3
Do đó OA=AB (2)
Từ (1) và (2) ta có điểm A là trung điểm của đoạn thẳng OB
O
B
A
Bài 2
Trên tia Ox lấy điểm C sao cho OC= 3 cm. Trên tia Ox` là tia đối của tia Ox lấy điểm D sao cho OD= 3cm. Chứng tỏ rằng điểm O có là trung điểm của CD
Lời giải bài 2
Vì C thuộc Ox điểm D thuộc Ox` mà Ox và Ox` là hai tia đối nhau nên điểm O nằm giữa 2 điểm C, D và OC=OD=3cm Do đó O là trung điểm của đoạn thẳng CD
C
D
O
x`
x
Bài 3
Cho đoạn thẳng AB dài 6 cm và C là điểm nằm giữa A, B. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của CB. Tính độ dài đoạn thẳng MN
Lời giải bài 2
C nằm giữa A; B nên AC+CB = AB=6cm
MC= (Vì M là trung điểm của AC)
CN= (Vì N là trung điểm của BC)
Do đó
A
B
C
N
M
Bài 4
Cho điểm C nằm giữa A và B. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của BC. Biết MN= 4 cm . Tính AB
Lời giải bài 4
C nằm giữa A; B nên AC+CB = AB
MC= (Vì M là trung điểm của AC)
CN= (Vì N là trung điểm của BC)
Do đó
A
B
C
N
M
Bài 5
Cho điểm C nằm giữa A và B. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của BC. Biết MN+AB=9 cm . Tính AB; MN
Bài 6
Cho đoạn thẳng AB dài 22003 (cm) C nằm giữa A và B và B1 là trung điểm của BC, C1 nằm giữa A1 và B1 ; A2 là trung điểm của A1C1 và B2 là trung điểm của B1 C1. .. C2001là điểm nằm giữa A2001, B2001. A2002 là trung điểm của A2001C2001 và B2002 là trung điểm của C2001B2001 . Tính A2002 B2002
Lời giải bài 6
AB=2A1B1
A1B1=2A2B2
....
A2002B2002=A2001B2001
Do đó AB=22003.A2002.B2002
=>A2002.B2002=22003:22002
=2
A
B
C
B1
A1
C1
A2
B2
Bài 7
Cho đoạn thẳng AB dài 22003 (cm) M1 là trung điểm của AB,
M2 là trung điểm của M1B
M3 là trung điểm của M2 B
. ..
M2003 là trung điểm của M2002B Tính BM2002
Lời giải bài 7
M1 là trung điểm của AB
M1B =AB:2=2002002
M2 là trung điểm của M1B
M 2B=M1B:2= 22001

Do đó =>M2002.B=22003:22002
=2
A
B
M3
M2
M1
Bài 8
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B là điểm nằm giữa A và C. Gọi M là trung điểm của AB, So sánh AC+BC và 2MC
Lời giải bài 8
M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên MA=MB
Ta có AC=MC+MA
BC=MC-MB=MC-MA
Do đó AC+BC
=MC+MA+MC-MA =2MC
A
B
M
C
Bài 9
Cho điểm C nằm trên đường thẳng AB và C không thuộc đoạn thẳng AB. Gọi M là trung điểm của AB, So sánh AC+BC và 2MC
Lời giải bài 9
M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên MA=MB
Xét hai trường hợp
*Nếu B nằm giữa A và C
Ta có AC=MC+MA
BC=MC-MB=MC-MA
Do đó AC+BC
=MC+MA+MC-MA =2MC
A
B
M
C
Lời giải bài 9
*Nếu A nằm giữa C và B
Ta có AC=MC - MA
BC=MC+MB=MC+MA
Do đó AC+BC
=MC-MA+MC+MA =2MC
Vậy Nếu C không thuộc đoạn thẳng AB thì AC+BC=2MC
A
B
M
C
Bài 10
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB. Gọi M là trung điểm của AB, Thì AC+BC = ?
Lời giải bài 10
*Nếu M nằm giữa A và C
Ta có AC=MC+MA
BC=MB-MC=MA-MC
Do đó AC+BC
=MA+MC-MC+MA =2MA
Rõ ràng AC+BC =AB=2AM=2BM
A
C
M
B
Đề thi học sinh giỏi huyện-tỉnh năm học 2002-2003
Bài 4 Cho 6 điểm A,B,C,D,M, N theo thứ tự trên một đường thẳng sao cho AB=1cm, AC=2AB, AD=2AC, AM=2AD, AN=2AM.
Tính độ dài đoạn thẳng AN
Nếu lấy các điểm trên làm mút của các đoạn thẳng thì điểm nào là trung điểm của các đoạn thẳng nào? tại sao?
Đề thi học sinh giỏi huyện-tỉnh năm học 2002-2003
Trên tia AN có AB1+BC=2=>BC=1=>BC=AB Vậy B là trung điểm của AC
A
B
C
D
M
Đề thi học sinh giỏi huyện-tỉnh năm học 2002-2003
Trên tia AN có AC2+CD=4=>CD=2=>CD=AC Vậy C là trung điểm của AD
A
B
C
D
M
Đề thi học sinh giỏi cấp cụm năm học 2003-2004
Bài 5 Cho đoạn thẳng AB dài 6 cm. Gọi C là trung điểm của AB. Lấy D và E là 2 điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AD=BE=2cm. Vì sao C là trung điểm của DE
Đề thi học sinh giỏi cấp cụm năm học 2003-2004
Vì C là trung điểm của AB nên AC=CB =AB/2=6:2=3 cm
Vì ADCD=1 cm (1)
Tương tự ta có E nằm giữa C và B; CE=1cm (2)
CA và Cd là 2 tia đối nhau mà D thuộc AC và E thuộc CD nên C nằm giữa D và E (3)
Từ (1) (2) (3) ta có C là trung điểm của DE
A
B
C
D
E