Xét tính hữu tỉ và tính vô tỉ để giải các bài toán có liên quan

XÉT TÍNH HỮU TỈ VÀ TÍNH VÔ TỈ CỦA MỘT SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Khi học tập hơp số hữu tỉ ta có nhận xét rằng:
1/ Tổng ,hiệu,tích ,các số hữu tỉ là số hữu tỉ
Khi học đến tập hợp R ta thấy đươc tập hợp số thực R gồm hai tập hợp số .Tập hợp số hữu tỉ và tập hợp số vô tỉ và ta đã biết được rằng :Nếu x là số hữu tỉ thì x không phải là số vô tỉ và ngược lại, nếu x là số vô tỉ thì x không phải là số hữu tỉ.Từ đây ta cũng có các nhận xét sau
2.tổng của số hữu tỉ và số vô tỉ là số vô tỉ
3.tích của số hữu tỉ và số vô tỉ là số vô tỉ.
Thật vậy, nếu x
Q và y
RQ mà x+y
Q thì x+y+(-x) =y
Q Vô lí.
Cũng vậy, nếu x
Q và y
RQ mà xy
Q thì xy(x -1) =y
Q Vô lí . Áp dụng các nhận xét trên ta sẽ giải được một số bài toán có liên quan, sau đây là các ví dụ minh họa
Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ sao cho một nghiệm của nó bằng

Giải
Gỉả sử x2+px+q (p,q là các số hữu tỉ )là phương trình phải tìm .
Do số
=
= -4+
là nghiệm của phương trình nên
(-4+
+p(-4+
) +q = 0, tức là (31-4p+q)+(p-8)
=0. Ta thấy:vì p,q là số hữu tỉ và
là số vô tỉ nên với nhận xét trên phương trình cuối chỉ tồn tại khi và chỉ khi đồng thời có
31-4p+q=0 và p-8=0. Suy ra p=8,q=1.Vậy phương trình bậc hai phải tìm là: x2 +8x -1 = 0
Bài 2: tìm nghiệm hữu tỉ của phương trỉnh:
-
=
.
Giải
Giả sử y và z là hai nghiệm hữu tỉ của phương trình trên.Sau khi bình phương hai vế ta được: y
+z
-2
=2
-3 hay (y+z-2)
=2
-3 (1)
Từ (1) ta thấy (x+z-2)2.3 = 9+12yz -12
nên số
là số hữu tỉ .Do đó cũng từ (1) ta phải có y+z-2=0 và 2
-3 =0. Vì vậy các số y,z phải thỏa mãn các đẳng thưc: y+z=2 và yz=
hay chúng là nghịêm của phương trình x2 -2x +
=0. Do y>z nên phương trình trên chỉ có một nghiệm là
.Đó là nghiệm hữu tỉ của nó.

Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn phương trình:
=
+

Gỉải
Giả sử x,y,z là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho:

=
+
. Bình phương hai vế ta được
x+2
= y+z+2

x-(y+z) +2
= 2
tiếp tục bình phương hai vế ta được
[x-(y+z) ]2 + 4
[x-(y+z)] +12=4yz (1)
từ (1) suy ra x=y+z vì nếu x ≠ y+z thì
=
là số hữu tỉ,vô lí.
Vậy x=y+z thì
yz=3
y=3,z=1 hoặc y=1 ,z=3
*Với y = 3, z = 1 ta được x = 4
*Với y=1, z = 3 ta được x=4
Thử lại ta được (4,3,1) và (4,1,3) là nghiệm

Bài 4 Chứng minh rằng nếu u,v
Q mà s = u
+ v
Q thì u = v = 0
Giải
Nếu v = 0 ta suy ra ngay u =s =0 (vì
là số vô tỉ)
Nếu v ≠ 0 ta có
= p + q
(1) ( p,q là các số hữu tỉ). Nhân hai vế của (1) cho
ta được: 3 = p
+ q
(2) thay
ở (1) vào (2) ta đươc
3 = p
+ q(p + q
) = p
+ pq + q2
= pq +( p+q2)

Từ đây suy ra :3= pq +( p+q2)
. Để đẳng thức này sảy ra ta phải có
Pq = 3 và