Xác suất

Chuyên đề: TỔ HỢP & XÁC SUẤT
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CÁC QUY TẮC CƠ BẢN VỀ PHÉP ĐẾM:
a. QUY TẮC CỘNG:
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án
hoặc phương án
. Có
cách thực hiện
phương án
và
cách thực hiện phương án
. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi
cách.
TỔNG QUÁT
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong
phương án
. Có
cách thực hiện
phương án
,
cách thực hiện phương án
,...và
cách thực hiện phương án
. Khi đó công việc có thể
thực hiện bởi
cách.
b. QUY TẮC NHÂN:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn
và
. Công đoạn
có thể làm theo
cách. Với
mỗi cách thực hiện công đoạn
thì công đoạn
có thể làm theo
cách. Khi đó công việc có thể thực hiện
theo
cách.
TỔNG QUÁT
Giả sử một công việc nào đó bao gồm
công đoạn
. Công đoạn
có thể thực hiện theo
cách,
công đoạn
có thể thực hiện theo
cách,..., công đoạn
có thể thực hiện theo
cách. Khi đó công việc
có thể thực hiện theo
cách.
2. HOÁN VỊ:
a.Định nghĩa :

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n
1).
Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Tập A



b.Định lý :
Ký hiện số hoán vị của n phần tử là Pn , ta có công thức:


(2)
3.CHỈNH HỢP:
a.Định nghĩa:

Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi bộ gồm k (
phần tử sắp thứ tự của tập hợp A
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.


Tập A




b.Định lý:
Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là
, ta có công thức:


(3)
4. TỔ HỢP:
a.Định nghĩa:

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con của gồm k phần tử (
) của A
được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.


Tập A




b. Định lý :
Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là
, ta có công thức:


(4)

c. Hai tính chất cơ bản của số

a) Tính chất 1: Cho số nguyên dương
và số nguyên
với
. Khi đó


b) Tính chất 2: Cho các số nguyên
và
với
. Khi đó


LƯU Ý QUAN TRỌNG:
Các bài toán về giải tích tổ hợp thường là những bài toán về những hành động như :
lập các số từ các số đã cho, sắp xếp một số người hay đồ vật vào những vị trí nhất định ,
lập các nhóm người hay đồ vật thỏa mãn một số điều kiện đã cho v.v...
1. Nếu những hành động này gồm nhiều giai đoạn thì cần tìm số cách chọn cho mỗi
giai đọan rồi áp dụng quy tắc nhân.
2. Những bài toán mà kết quả thay đổi nếu ta thay đổi vị trí của các phần tử ,
thì đây là những bài toán liên quan đến hoán vị và chỉnh hợp.
3. Đối với những bài toán mà kết quả được giữ nguyên khi ta thay đổi vị trí của các phần tử
thì đây là những bài toán về tổ hợp.
5. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN
Định lý:


6. XÁC SUẤT
a) Định nghĩa
Giả sử phép thử
có không gian mẫu
là một tập hữu hạn và các kết quả của
là đồng khả năng. Nếu
là
một biến cố liên quan với phép thử
và
là tập các kết quả thuận lợi cho
thì xác suất của
là một số,
kí hiệu là
, được xác định bởi công thức


Như vậy, việc tính xác suất của biến cố
trong trường hợp nầy được quy về việc đếm số kết quả có thể của
phép thử
và số kết quả thuận lợi của


b) Định lý
Cho biến cố
. Xác suất của biến cố đối
là



c)