Việt Nam TST 2007

Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam Ngày 1 (29/3/2008) Bài 1 : Trên mặt phẳng cho góc xOy. Xét điểm M thay đổi trên tia Ox và điểm N thay đổi trên tia Oy. Kí hiệu
là đường phân giác ngoài của góc xOy và gọi
là giao điểm của
với đường trung trực của đoạn thẳng MN. Trên
lấy hai điểm P và Q sao cho :
. Gọi K là giao điểm của các đường thằng MQ và NP. 1/Chứng minh rằng K luôn nằm trên một đường thằng cố định , khi M và N thay đổi trên Ox và Oy. 2/ Xét các điểm M,N trên các tia Ox và Oy sao cho đường thằng
vuông góc với
tại M và đường thằng
vuông góc với
tại N đều cắt đường thằng d. Gọi E, F tưong ứng là giao điểm của
,
. Chứng minh rằng các đừong thẳng EN ; FM và OK đồng quy . Bài 2 : Hãy xác định tất cả các số nguyên dương
sao cho tồn tại các đa thức với hệ số thực P(x),Q(x),R(x,y) thỏa mãn điều kiện : Với mọi số thực
mà
, ta luôn có : P(R(a,b))=a và Q(R(a,b))=b. Bài 3 : Cho số nguyện n>3. Ki hiệu T là tập hơp gồm
số nguyện dương đầu tiên . Một tập con S của T được gọi là tập khuyết trong T nếu S có tính chất : Tồn tại số nguyện dương
không vượt quá
sao cho với
,
là hai số bất kỳ thuộc
ta luôn có :
hỏi tập khuyết trong
có thể có tối đa bao nhiêu phần tử . Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam Ngày 2 (30/3/2008) Bài 4 : Cho m và n là các số nguyên dương . Chứng minh rằng
Bài 5 : Tam giác ABC có phân giác AD, BE, CF, k là số thực dương cho trước . Trên AD, BE, CF lần lượt lấy các điểm L, M, Nsao cho
.
là đường tròn qua A, L và tiếp xúc với OA tại A với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
,
cũng xác định tương tự a) Cho
chứng minh
,
,
có đúng 2 điểm chung và trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên đường thằng đi qua
điểm chung đó . b) Hãy xác định tất cả các giá trị của
để ba đường tròn
,
,
có đúng hai điểm chung . Bài 6 : Cho M là tập hợp của 2008 số nguyên dương đầu tiên , mỗi số đó được tô bởi một trong 3 màu : xanh , đỏ và vàng , và mỗi màu thì được tô ít nhất một số , xét 2 tập :
{
thuộc
mà x, y, z tô cùng màu ,
}
{
thuộc
mà
, y , z tô khác màu nhau ,
} Chứng minh rẳng :




------------------------------------------------------End----------------------------------------------------------------------------