Về Hàm Số Học

VỀ MỘT HÀM SỐ HỌC

Châu, THPT Chuyên Chánh, Phú Yên
Phan Thành Nam, Trường Đại học khoa học tự nhiên TPHCM
sát các trong phân nhiên đề chúng ta. Ta kí S(n) các nhiên n (trong phân) đề tính lí thú S(n) S(n) trong các toán .
ta có tính quan sau:
(mod 9). minh tính xin trao cho . Bây .
toán 1.
các 1, 2, 3, 2003 dãy tùy ý thu N. N có chính ?
:
Theo tính trên, :
(mod 9)
, N chia cho 3 không chia cho 9, nên N không chính .
toán 2.
các 1, 2, 7 ra hai có 7 A, B. minh A>B thì A không chia cho B.
:
A = B.C. Do S(A) = S(B) = 1 + 2 + … + 7 = 28 nên A B không chia cho 3, A - B chia cho 9. Suy ra C - 1 chia cho 9. vô lí vì theo có : 1 < C < 10.
ta có minh.
toán 3.
Tìm các nhiên n mãn: n+S(n)+S(S(n))=2001.
:
Ta có : n < 2001
S(n) < S(1999) = 28
S(S(n)) < S(28) = 10. Suy ra : n > 2001 - 28 - 10 = 1963. : S(n) > S(1970) = 17 S(S(n)) > 2 nên n < 2001 - 17 - 2 = 1982.
khác :
(mod 9) nên
(mod 3). :
. cách ta có các 1969; 1972; 1975 mãn.
toán
.
toán 4. (IMO - 1975)
Cho A các
B các A. Hãy tính các B.
:
N=
.
Do N <
nên N có không quá 4444.4 < 20000 . : A < 9.20000 = 180000
B < S(99999) = 45
S(B) < S(39) =12 (1).
khác:
(mod 9) nên
(mod 9) do S(B) chia 9 7 (2). (1) (2) suy ra S(B)=7.
toán 5. (IMO - 1990)
Kí bình các nhiên n (theo phân) f(n).
, k f. Tính
.
:
Rõ :
.
Ta có:
(mod 9)
(mod 9).
khác
nên:


.
Suy ra:
.
ta có:


.
Bây chúng ta giá S(n). nhiên m, n ta có các quan sau:
1) S(n) < n
2) S(m+n) < S(m) + S(n).
3) S(m.n) < S(m).S(n).
ở chúng tôi minh cho (3) còn (1) (2) xin cho .


. các (1) (2) ý
, ta có:





toán 6. (Vô Bungari)
minh :

.
minh
không .
:
1) Theo toán 4, ta có: S(n)=S(5.2n)< S(5).S(2n)=5.S(2n) ().
ý 5 chính xác.