Ứng dụng thực tế của dãy số

Ứng dụng của dãy số trong một số bài toán

Giới thiệu

Với bài “Dãy số để làm gì ?” đã đăng trong violet trang này, mới chỉ nêu dãy số dùng cho tính toán ( Dãy số trong thí dụ của bài là Dãy số hội tụ ). Tiếp đây xin giới thiều 2 bay toán có liên quan dãy số và ứng dụng thực tế khá hay để các bạn tham khảo .

1/. Bài ứng dung thứ nhất: (Rửa chai lọ)

Bài toán:
Một lọ thủy tinh dung tích 1 000 ml chứa đầy 1 loại dung dịch chất độc nồng độ 10 % đã được chuyển sang bình chứa khác; nhưng dung dịch độc hại sau khi đổ hết vẫn còn dính lọ 0,1 % . Để chất độc còn trong lọ ( 0,001 ( gam (microgam), Người ta dùng nước cất xúc rửa lọ thủy tinh này. Hỏi:
a/ Phải xúc rửa bao nhiêu lần nếu mỗi lần dùng 1000 ml nước cất ?
b/ Phải xúc rửa bao nhiêu lần nếu mỗi lần dùng 100 ml nước cất ?
Giả thử rằng mỗi lấn xúc rửa, chất độc hòa tan hết trong nước và sau khi đổ đi dung dịch mới cũng vẫn còn dính lọ một lượng như nhau.

Giải
Lượng chất độc tồn trong lọ lúc đầu là: (100 g : 1000) = (gam)

Lượng chất độc tồn trong lọ theo yêu cầu là: 0,001 ( gam = (gam)

a/ Mỗi lần xúc rửa với 1.000 ml nước cất, vẫn còn dính lọ 1 ml (0,1 %) nghĩa là lượng chất độc đã giảm đi 1.000 (103) lần. Lập bảng lượng chất độc tồn đọng sau các lần xúc rửa, ta có:



Vậy sau 3 lần xúc rửa với 1.000 ml/ lần thì chất độc còn

Cứ như thế lặp lại đến lần thứ n ta được dãy số là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội p=1/103



b/Nếu mỗi lần xúc rửa với 100 ml nước cất, nghĩa là lượng chất độc đã giảm đi 100 lần (102). Tương tự phần trên, nếu xúc rửa lặp lại n lần ta cũng được một cấp số nhân lùi với công bội q = 1/ 102.n




Và để lượng chất độc ( 1/ 109 ta phải xúc rửa 4 lần với 100 ml nước/ 1 lần

* Bàn luận
-Bài toán trên có thể giải theo cách suy luận tính toán thông thường, nhưng để giải cho trường hợp tổng quát ta áp dụng tìm qui luật dãy số ( cấp số nhân ) sẽ đẹp hơn
- Ý nghĩa bài toán còn rút ra nữa là : Nếu xúc rửa ( giắt rũ…) dùng lượng nước vừa đủ sẽ tiết kiệm hơn: Cách thứ nhất ( 1.000 ml) 1 lần) phải mất 3.000 ml; Cách thứ 2 ( 100 ml/ 1 lần chỉ hết 400 ml nước cất để lượng chất độc ( 1/ 109 gam ( hay 0,001( gam.
-Bài toán có thể gặp cho trường hợp giặt rũ quần áo, tẩy rửa chất bẩn…






2/. Bài ứng dung thứ hai
* Bài toán :
Một khách hàng có 100 triệu đồng đem gửi Ngân hàng với lãi suất 0,4 % /3 tháng, tỷ lệ lãi suất trên được tính dồn cả gôc + lãi cho mỗi Quý nếu khách hàng không rút tiền ra. Hỏi Vị khách hàng này sau bao nhiêu quý mới có số tiền lãi > số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng ?




*Bài giải
Theo thể thức của ngân hàng, ta có bảng sau
A.-Thời điểm
B.- Tiền gốc + lãi
C.Lãi cộng dồn

Đầu Năm 2012
 100 000 000
 

Năm thứ nhất
cuối Q 1
 104 000 000
 4 000 000


Cuối Q2
 108 160 000
 8 160 000


Cuối Q3
 112 486 400
 12 486 400


Cuối Q4
 116 985 856
 16 985 856

Năm thứ hai
cuối Q 1
 121 665 290
 21 665 290


Cuối Q2
 126 531 902
 26 531 902


Cuối Q3
 131 593 178
 31 593 178


Cuối Q4
 136 856 905
 36 856 905

Năm thứ ba
cuối Q 1
 142 331 181
 42 331 181


Cuối Q2
 148 024 428
 48 024 428


Cuối Q3
 153 945 406
 53 945 406


Cuối Q4
 160 103 222
 60 103 222

Năm thứ tư
cuối Q 1
 166 507 351
 66 507 351