Ứng dụng hình học của tích phân

Giúp học sinh lớp 12 giải các bài toán:

“ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY”
I.Một số vấn đề liên quan
1.Phương pháp:
Phương pháp tính tích phân
,trong đó f(x) là một hàm số liên tục trên [a;b]:
1.1.Phương pháp đổi biến số dạng 1:
+Dạng 1: f(x) =
,hoặc f(x) =
(a > 0 ).Đặt x = a.sint ,với t ([-
]
+Dạng 2: f(x) =
(a > 0).Đặt x = a.tant,với t ((
).
1.2.Phương pháp tính tích phân từng phần:
,trong đó udv = f(x)dx
+Dạng 1:
( P(x): đa thức ).Đặt: u = P(x) (còn lại là dv)
+Dạng 2:
.( P(x): đa thức ).Đặt: u = ln(Ax+B) (còn lại là dv)
2.ứng dụng của tích phân:
2.1.Tính diện tích của hình phẳng:
a)Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a , x = b (a < b) và đồ thị của hai hàm số y1 = f1(x), y2 = f2(x) liên tục trên [a;b] là:

(Bước 1: Giải phương trình: f1(x) - f2(x) = 0 (1)
(Bước 2:Chọn nghiệm thuộc đoạn [a;b].Giả sử trên [a;b],phương trình (1) có các nghiệm là (,( (( < ().
(Bước 3: Khi đó: S =

=

Ghi chú:Phương trình (1) gọi là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
y1 = f1(x), y2 = f2(x) .
b) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng y = a, y = b (a < b) và đồ thị của hai hàm số x1 = g1(y), x2 = g2(y) liên tục trên [a;b] là:

(Bước 1: Giải phương trình: g1(y) - g2(y) = 0 (2)
(Bước 2:Chọn nghiệm thuộc đoạn [a;b].Giả sử trên [a;b], phương trình (2) có các nghiệm là (,( (( < ().
(Bước 3: Khi đó: S =

=

Ghi chú:Phương trình (2) gọi là phương trình tung độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
x1 = g1(y), x2 = g2(y).
2.2.Tính thể tích của vật thể tròn xoay:
a)Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x), x = a, x = b (a < b), y = 0 là:











b) Thể tích của vật thể tròn xoay sinh
ra bởi phép quay xung quanh trục Oy
của hình giới hạn bởi các đường:
x = g(y),y = a, y = b (a < b) , x = 0 là:








II.Bài tập áp dụng:
( Bài toán 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2 + 1, x + y = 3
Nhận xét:
-Đối với bài toán này học sinh thường lúng túng trong việc chọn cách giải,vì nếu chọn cách giải đưa về: x = a , x = b (a < b) , y1 = f1(x), y2 = f2(x):
thì thiếu
x = a và x = b.
-Hướng dẫn cho học sinh tìm x = a, x = b từ việc giải phương trình:f1(x) - f2(x) = 0
Giải: Ta có: x + y = 3 ( y = 3 - x
Do đó: x2 + 1- (3 - x) = 0 ( x2 + x- 2 = 0
(

Vậy: S =


(đ.v.d.t)
(Minh họa đồ thị :
(Ghi chú: phần đồ thị này trong một số bài
toán từ đây về sau tùy bài có thể đưa vào
trong cách giải để minh họa, chứ không
phải bắt buộc khi nào cũng phải có
trong cách giải)
( Bài toán 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y2 = 2x + 1, y = x- 1