Ứng dụng DL VI-ET (L9)

Một số bài toán về tam thức bậc 2

Bài 1:(THTT số 5-1999 trang 10)
Giả sử a; b ; c là các số thực thoả mãn đk | a(b-c) | > | b2 - ac | + | c2 - ab | và phương trình bậc 2 : ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thực . Chứng minh rằng :
3 > (x1 + 1)2 + (x2 + 1)2 + (x1x2 + 1)2 (x1 và x2 là nghiệm của phương trình bậc 2 đã cho)
Giải: do a(0 do đó a2(0 ta có:
Bài 2: Tìm m sao cho luôn có x <0 thoả mãn hệ thức:
x(1-x2)2 1 – x3 1+x3
m = : ( + x )( - x)
1+x2 1-x 1+x
Giải: x(1-x2)2 1 +x – x3 -x2 1 –x –x2+ x3
m = : x
1+x2 1-x 1+x
x(1-x2)2 (1 + x)(1 -x2) (1 –x)( 1 –x2)
m = : x
1+x2 1-x 1+x
x
m = Hay mx2 - x + m = 0
1+x2
Vậy ta cần tìm m để phương trình trên luôn có nghiệm âm.
Trường hợp m = 0 => x = 0 ( không thoả mãn)
Trường hợp m ≠ 0 phương trình đã cho trở thành phương trình bậc 2.
Để phương trình có nghiệm thì ( = 1 - 4m2 ( 0
( 1 ( 4m2 ( 1/4 ( m2 ( 1/2 ( m (*)
Khi ( ( 0 áp dụng định lý vi ét ta thấy x1x2 = 1 > 0 vậy nếu phương trình có nghiệm < 0 thì cả 2 nghiệm âm (kể cả trường hợp nghiệm kép)
=> x1 = x2 = 1/m < 0 ( m < 0 (**)
Kết hợp (*) và (**) ta có m ( 1/2
Kết hợp ĐK x ( -1 ta có m + 1 + m ( 0 hay m ( -1/2
Vậy điều kiện m thoả mãn bài ra là -1/2 < m < 0
x + 1
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: y =
x2 + x + 1
Giải : TXĐ : với mọi x thuộc R
Phương trình đã cho trở thành: yx2 + yx + y = x + 1
yx2 + (y-1)x + y -1 = 0
để biểu thức đã cho có cực trị thì phương trình phải có nghiệm.
Nếu y = 0, PT đã cho trở thành : - x - 1 = 0 ( x = -1 vậy PT có nghiệm (-1;0)
Nếu Y ( 0 PT trở thành phương trình bậc 2 ẩn số x , để PT có nghiệm thì:
( = (y - 1)2 - 4y(y-1) ( 0 ( (y-1)( y -1 -4y) ( 0 ( (y - 1)(-1 - 3y) ( 0
vậy -1/3 ( y ( 1 ( Ngoài đồng, trong khác)
=> Max y = 1 , đạt được khi ( = 0 => x1 = x2 = -b/a = (1-y)/y = 0
(hoặc thay y = 1 vào ta có x2 = 0 hay x= 0 )
Miny = -1/3 đạt đươc khi ( = 0 => x1 = x2 = -b/a = (1-y)/y = 0


Bài 5: Tương tự bài 3:
Tìm các giá trị lớn