Ứng dụng đạo hàm trong các toán tham số

Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số
CHỨA THAM SỐ
 
Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó.
 
 
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D
Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm
 hai đồ thị của hai hàm số
 và
 cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số 
.
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng 
  cắt đồ thị hàm số
.
Chú ý : Nếu hàm số
 liên tục trên D và
,
 thì phương trình :
 có nghiệm

 
Ví dụ 1:  Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

 


Giải:
1)Xét hàm số
 có tập xác định là D=R.
 Ta có:




 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình
 vô nghiệm
 không đổi dấu trên R, mà
 đồng biến.
Mặt khác:
 và
.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm
.
 
2) ĐK:

Xét hàm số
 với
 
Ta có:
.

 vô nghiệm

 không đổi dấu trên D, mà  

Mặt khác:


 phương trình có nghiệm
 .
 
Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên.
 
Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:



.
Giải:
1) Phương trình



 Xét hàm số
 với
 
Ta có:
.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm
.
 
2) Điều kiện:
.
Khi đó phương trình

(Vì
) Xét hàm số
 với
.
Ta có:
.
Do  
.
Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4]

Suy ra phương trình có nghiệm

 
Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm  (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.
Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:  

  
Giải:
Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này
Ta có:
.
Hệ có nghiệm
 có nghiệm
.

 với

có
.


Vậy hệ có nghiệm
.
 
Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:


Giải:
Ta có:
.
* Nếu
 vô nghiệm.
* Nếu
 đúng

 có nghiệm
 
Suy ra hệ có nghiệm
 có nghiệm
 
Ta có:
. Xét hàm số f(x) với
, có:

.
Dựa vào bảng biến thiên
 hệ có nghiệm
.
 
Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

.
Giải:
Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước
Ta có:
. Thay vào (1) ta được:

  (3).
Hệ có nghiệm
 có nghiệm
. Xét hàm số f(y) với


 đồng biến trên các khoảng
 và



Suy ra hệ có nghiệm
.
Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý
 Số nghiệm của phương trình
 chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số
  và
 . Do đó phương trình có k nghiệm
hai đồ thị trên cắt nhau tại k giao điểm.
 
Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:   

Giải:
Đặt
. Ta có phương trình :

 

.
Xét hàm số


.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt


Ví dụ 7: Tìm m