ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRĂNG ĐỂ CHỨNG MINH BĐT HÀM

Ứng Dụng Định Lý Larange Chứng Minh Một Dang BĐT Hàm


I. Định lý Larange: Cho hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên khi đó sao cho:

II. Bài toán: Cho hàm số xác định và có đạo hàm cấp hai trên CMR:
a. Nếu ( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên ) thì:

b. Nếu ( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên ) thì:

Chứng minh:

Không mất tính tổng quát giả sử
Xét hàm số liên tục trên chứa Theo định lý Larange ta có:
sao cho(1)
sao cho(2)
Trừ (1) cho (2) suy ra: (3)
+) Nếu đồng biến trên kết hợp với (3) suy ra:
+) Nếu nghịch biến trên kết hợp với (3) suy ra:

III. Mở rộng
+) Dùng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh BĐT trên với n số:
a. b.
IV. Ứng dụng:
1. trên Ta có:
Vậy:
2. trên Ta có:
Vậy:
3trên Ta có:
Vậy:
4trên Ta có:
Vậy:
5Ta có:
Vậy:
Tổng quát:


Do hàm đồng biến nên suy ra: (BĐT Cauchy)
6Ta có:
+) Nếu hoặc
Vậy
Tổng quát:
+) Nếu
Vậy
Tổng quát: