Tuyệt kỹ về tiếp tuyến

Các kiến thức cần nắm:
+ Hệ số góc của đường thẳng (d) là tang của góc (ox,d), kí hiệu k=tan(ox,d).
+ Đường thẳng (d) có phương trình y=ax+b, khi đó a chính là hệ số góc của đường thẳng .
+ Đường thẳng (d) đi qua điểm
có hệ số góc k có phương trình là:


Chú ý: d//0x thì d có hsg k=0
d vuông góc với 0x thì d không tồn tạo hsg
+ Hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau
Hai đường thẳng vuông góc thì tích hệ số góc bằng -1
Ví dụ:
Các dạng toán cơ bản:
Dạng 1: Viết PTTT của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm

Phương pháp:
Bước 1: Tính f’(x) và giá trị f’(x0)
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm
có dạng:


Chú ý: tiếp tuyến tại điểm
có hệ số góc

Ví dụ: Viết PTTT của đồ thị hàm số
tại điểm A(1;-1)
Giải: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(1;-1) có dạng:

Ta có


Vậy : Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(1;-1) là:
hay

Dạng 2: Viết PTTT của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước.
Phương pháp:
Bước 1: Gọi
là tọa độ tiếp điểm
Bước 2: Tiếp tuyến có hệ số góc bằng k nên ta có
, từ đây giải ra

Bước 3: Vậy phương trình tiếp tuyến là:


Ví dụ: Viết PTTT của đồ thị hàm số
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+2009.
Giải: + Gọi
là tọa độ tiếp điểm
+ Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+2009 nên ta có



+ Với
; với

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa bài toán là:
và


Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm
cho trước
Phương pháp:
Bước 1: Gọi d là đường thẳng qua M và có hệ số góc là k, khi đó

Bước 2: (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

từ đây giải ra k thay vào (*)
Bước 3:Kết luận

Chú ý: Cho đường cong
và đường cong
. Điều kiện để (C) tiếp xúc với (C’) là hệ sau có nghiệm.

Ví dụ: Qua điểm
hãy viết PTTT với đồ thị hàm số

+ Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
và có hệ số góc k, khi đó d có phương trình là:

+ (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm





Với x=0 nên k=3, khi đó tiếp tuyến là:

Với x=-3 nên k=24, khi đó tiếp tuyến là:


Bài tập luyện tập:
Cho hàm số
, hãy khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
Tại điểm có hoành độ

Tại điểm có tung độ y = 3.
Tiếp tuyến song song với đường thẳng:

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:

Cho hàm số
có đồ thị là (C).
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Viết phương trình tt của (C) tại giao điểm của (C) với trụng hoành.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(1,-1).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến k = -13.
Cho hàm số
.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.
Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
Cho hàm số
. Định m để
tiếp xúc với trục hoành.
Cho hàm số
. Định m để
tiếp xúc với trục hoành.
Cho hàm số
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được