Tuyển tập các bài luyện thi đại học các năm

Xem nhiều hơn tại http://www.moon.vn/Home1/Default.aspx?q=untiluniversityexam
Bảng công thức tích phân bất định :






















Phương pháp biến số phụ :

Cho hàm số
liên tục trên đoạn
có nguyên hàm là
.
Giả sử
là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
và có miền giá trị là
thì ta có :



BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :
a)
b)
c)


Bài làm :
a) Đặt

Đổi cận :

Vậy :

b) Đặt

Đổi cận :

Vậy :

c) Đặt

Đổi cận :






Tích phân lượng giác :
Dạng 1 :

Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 :

Cách làm :
Nếu
chẵn . Đặt

Nếu
chẵn
lẻ . Đặt
(trường hợp còn lại thì ngược lại)
Dạng 3 :

Cách làm :
Đặt :

Dạng 4 :

Cách làm :
Đặt :

Sau đó dùng đồng nhất thức .
Dạng 5:

Cách làm :
Đặt :

Sau đó dùng đồng nhất thức.

BÀI TẬP

Tính tích phân :
a)
b)
c)

Bài làm :

a) Đặt :

Đổi cận :

Vậy :

b) Đặt :

Đổi cận :

Vậy :

c) Đặt :

Đổi cận :

Vậy :




Tính các tích phân sau :
a)
b)


Bài làm :
a) Đặt :

Đổi cận :

Nếu

Vậy :

Nếu

Vậy :

b) Đặt :

Đổi cận :

Vậy :

Đặt :

Đổi cận :

Vậy :


Tính các tích phân sau :
a)
b)


Bài làm :
a) Đặt :

Đổi cận :

Vậy :

b)Đặt :

Dùng đồng nhất thức ta được:

Vậy :


Bạn đọc tự làm :
a)
b)
c)

c)
d)
d)


Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ

Dạng 1 :
với
ta có :
Nếu
ta có :

Dạng 2 :
trong đó :

* Giai đoạn 1 :
,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức
, sai khác một số :


* Giai đoạn 2 :
Tính

* Giai đoạn 3 :
Tính
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt

Dạng 3 :

Ta có :

Nếu :
thì ta thực hiện phép chia
trong đó phân số
có

Nếu :
ta có các qui tắc sau :
*Qt 1:

Vdụ 1a :

Vdụ 1b :


*Qt 2`:
với

*Qt 3:

Vdụ 1 :

Vdụ 2 :


BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :
a)
b)


Bài làm :
a)




b)




Tính các tích phân sau :
a)
b)


Bài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được
với





b) Đặt :

Do đó ta có hệ :

Vậy :




Bạn đọc tự làm :
a)
b)

c)
d)


HD:

a)
b)

c)
d)


Đẳng thức tích phân :

Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.

BÀI TẬP
Chứng minh rằng :


Bài làm :
Xét

Đặt :

Đổi cận :

Vậy :
(