Tu on luyen thi dai hoc khoiA

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

I,Phương pháp dùng tính chất chia hết:
1/ Phương pháp phát hiện tính chia hết:
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
3x + 17y = 159 (1)
Giải:
Giả sử x, y là các số nguyên thoả mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17y cũng chia hết cho 3, do đó y chia hết cho 3 ( vì 17 và 3 nguyên tố cùng nhau)
Đặt y = 3t ( t là số nguyên). Thay vào phương trình (1), ta được:
3x + 17.3t = 159

x + 17t = 53
=> x =53 - 17t
Do đó
( t
)
Đảo lại thay các biểu thức của x và y vào (1) phương trình được nghiệm đúng.
Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên (x; y) được biểu thị bởi công thức:

( t
)
2/ Phương pháp đưa về phương trình ước số:
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x.y - x - y = 2
Giải:
Ta có: x.y - x - y = 2
x.( y -1) - y = 2

x. (y - 1) - (y - 1) = 3

(x -1). (y - 1) = 3
Do x, y là các số nguyên nên x - 1, y - 1 cũng là các số nguyên và là ước của 3. Suy ra các trường hợp sau:

;
;
;

Giải các hệ này ta có nghiệm của phương trình : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0)
3/ Phương pháp tách ra giá trị nguyên:
Ví dụ 3: Giải phương trình ở ví dụ 2 bằng cách khác
Giải:
Ta có: x.y - x - y = 2

x.(y-1) = y+2
Ta thấy y
( vì nếu y=1 thì x.0 = 3 vô nghiệm )
Do đó x =

Do x nguyên nên
nguyên. => y-1 là ước của 3 => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; y-1=-1
Ta cũng có đáp số như ở ví dụ 2

II/ Phương pháp xét số dư từng vế:
Ví dụ 4: Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
a/ x2- y2 = 1998
b/ x2+ y2 = 1999
Giải:
a/ Ta thấy x2 ; y2 chia cho 4 chỉ có số dư là: 0 ; 1
nên x2 - y2 chia cho 4 có số dư là : 0 ; 1 ; 3 còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
b/ Tương tự ta có x2 + y2 chia cho 4 có số dư là : 0; 1; 2 còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
9x + 2 = y2+y (1)
Giải:
Ta có phương trình (1) ( 9x+2 = y(y+1)
Ta thấy vế trái của phương trình là số chia cho 3 dư 2 nên y.(y+1) chia cho 3 cũng dư 2.
Chỉ có thể: y = 3k+1; y+