Triết lý toán học & Định lý Bất toàn

Triết lý Toán học & dạy toán qua
Định Lý Bất Toàn
Lời NBS : Nhân dư luận gần đây nói nhiều về chất lượng giáo dục nói chung & Nguy cơ tụt lùi của nền Toán học VN nói riêng; NBS gặp bài viết của TG Phạm Việt Hưng có nhiều khía cạnh đáng quan tâm nên cóp lại . Hy vọng những người liên quan suy nghĩ.
PVH bình : “Hệ thống giáo dục phương Tây những năm 1960 sẽ không rơi vào thảm hoạ “toán học mới” – một thảm hoạ bắt nguồn từ việc ra sức nhồi nhét logic và tập hợp (tư tưởng cơ bản của Chủ Nghĩa Hình Thức) vào đầu học sinh phổ thông. Khi đó, chắc chắn cũng sẽ chẳng còn có nhà nhà giáo dục Việt Nam nào muốn bắt chước lối giáo dục nhồi nhét hình thức đó nữa, và do đó sẽ không có hiện tượng “dạy giả + học giả” (?!)
Tại sao đến nay các nhà giáo dục vẫn ra sức nhồi nhét Logic và tập hợp vào chương trình toán phổ thông? Mục đích của họ là gì? Phải chăng họ bất chấp Định Lý Gödel, do đó tưởng rằng Logic và tập hợp là chìa khoá của toán học, giúp cho trẻ em giỏi toán hơn, hiểu toán chính xác hơn? Hay phải chăng họ không hiểu gì ý nghĩa và vai trò của Logic hình thức, để vô tình biến trẻ em thành computers?”-
Dưới đây là phần cơ bản bài viết của Phạm Việt Hưng :

Tạp chí TIME số ra ngày 29-03-1999 bình chọn Kurt Gödel, tác giả Định Lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness), là nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20. Điều ấy không cần bàn cãi. Nhưng nếu hỏi ai là nhà toán học có ảnh hưởng lớn nhất trong thế kỷ 20, thì câu trả lời phải là David Hilbert. Ảnh hưởng ấy trước hết được tạo ra bởi những cống hiến vĩ đại của Hilbert cho toán học, đó là điều không ai có thể chối cãi. Lịch sử toán học xếp ông ngang tầm với nhà toán học vĩ đại cùng thời là Henri Poincaré – người được mệnh danh là “Mozart của toán học”.
Hilbert và Poincaré đều là những thiên tài trong việc đối đầu với những bài toán hóc búa nhất và khả năng khai phá những mảnh đất mới của toán học. Nhưng hai thiên tài này có hai điểm khác nhau đến mức đối chọi:
Trong khi Poincaré không tạo ra một trường phái riêng thì Hilbert lại tạo ra cả một trường phái hùng hậu – trường phái Logic hình thức. Vì thế ảnh hưởng của Hilbert rất lớn, bao gồm cả ảnh hưởng tích cực lẫn tiêu cực.
Sự đối lập lớn nhất giữa Poincaré và Hilbert là quan điểm triết học toán học, tức nhận thức về bản chất của toán học.
Trong khi Poincaré thấy rõ toán học phải gắn chặt với thế giới hiện thực thì Hilbert lại cho rằng toán học thực chất chỉ là một hệ thống Logic hình thức thuần tuý, một sản phẩm tư duy suy diễn hoàn toàn độc lập với thế giới hiện thực.
Lịch sử cuối cùng đã cho thấy Poincaré đúng và Hilbert sai: Định Lý Gödel đã chứng minh rằng Chương trình Hilbert là ảo tưởng, và ảo tưởng đó xuất phát từ nhận thức sai về bản chất của toán học. Một dịp khác, chúng ta sẽ bàn kỹ chủ đề “Toán Học thực chất là gì?”, nhưng ngay bây giờ, cần thấy rõ rằng vì ảnh hưởng của Hilbert quá lớn, do đó sai lầm của Hilbert đã làm cho nhiều môn đệ của ông trong lĩnh vực giáo dục trở nên lú lẫn đến mức bất chấp Định Lý Gödel, tiếp tục tôn sùng Logic hình thức một cách vô lối bằng cách ra sức nhồi nhét Logic và tập hợp vào chương trình toán phổ thông …
Bằng chứng rõ nhất là trào lưu “Toán Học Mới” ở phương Tây những năm 1960, và mặc dù trào lưu này đã thất bại thảm hại, nhưng “cái đuôi” của nó vẫn còn “ngọ nguậy” trong nền giáo dục của chúng ta hôm nay, tạo nên vấn nạn “dạy giả + học giả” tràn lan!
Xét cho cùng, vấn nạn này bắt nguồn từ sự thiếu hiểu biết về lịch sử toán học. Sự thiếu hiểu biết ấy dẫn tới tư tưởng sùng bái Hilbert như một “ông thánh không thể sai lầm”.
“Một thất bại vinh quang!”
Nhưng than ôi, chính sự sùng bái đó đã vô tình tước đoạt của Hilbert một vinh quang mà ông có quyền được hưởng:
Chương trình Hilbert tuy thất bại, nhưng đó là “một thất bại vinh quang!” (a glorious failure!), như nhận định của Gregory Chaitin, một trong những nhà khoa học computer nổi tiếng nhất thế giới hiện nay, trong bài giảng hùng hồn nhan đề “A Century of Controversy Over The Foundations of Mathematics” (Một thế kỷ tranh cãi về nền tảng toán học), trình bầy tại Đại Học Carnegie Mellon ở Pennsylvania, Mỹ, ngày 02-03-2000.
Tại sao Chaitin nói như vậy?
Vì chính những bài toán thách thức