Toán THSC

Định lý Apolloni là định lý hình học phẳng cổ điển dược phát hiện bởi nhà toán học Apolloni (255 TCN-170 TCN) vào khoảng năm 200 TCN.
Phát biểu
Cho A và B là hai điểm trong mặt phẳng Euclide và r là một số dương khác 1 thì quĩ tích của các điểm P sao cho tỉ số các độ dài AP/BP = r là một đường tròn.
Lưu ý
Đường tròn mô tả trong định lý còn được gọi là đường tròn Apolloni.
Dạng tổng quát của định lý trên dẫn tới định nghĩa của hình conic trong hình học không gian.
Định lý Apéry là một định lý toán học mang tên nhà toán học người Pháp Roger Apéry (1916 - 1994) chứng minh ra nó vào năm 1978.
Phát biểu
Giá trị của hàm Riemann Zeta ζ(3) là số vô tỉ:
=
(sequence A002117 in OEIS)
(002117 in =53,772 m)
Lưu ý
ζ(3) là một chuỗi vô hạn nghịch đảo của lập phương (của các số nguyên đương)
Chứng minh ban đầu đã rất phức tạp và khó hiểu. Sau đó, một chứng minh tương đối ngắn đã tìm thấy bởi ứng dụng của đa thức Legendre.
Kết quả hiện còn khá cô lập: người ta biết rất ít về ζ(n) trong đó n là các số lẻ khác. Do tính chất quan trọng ζ(3) đã được đặt tên là Hằng số Apéry


Đa thức Legendre
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Trong toán học, các hàm Legendre là các hàm số thỏa mãn phương trình vi phân Legendre:


Phương trình vi phân này được đặt tên theo nhà toán học Pháp Adrien-Marie Legendre, và thường hay gặp trong vật lý học hay các ngành kỹ thuật. Đặc biệt, nó xuất hiện trong việc giải phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu.
Nghiệm của phương trình tồn tại khi |x| < 1. Tại x = ± 1 giá trị của nghiệm sẽ hữu hạn nếu n là số nguyên không âm, n = 0, 1, 2,... . Trong trường hợp này, các nghiệm tạo thành dãy đa thức của các đa thức trực giao gọi là đa thức Legendre.
Một đa thức Legendre thường được ký hiệu là Pn(x) và là một đa thức bậc n. Các đa thức này có thể được biểu diễn bằng công thức Rodrigues:


Ví dụ
Một vài đa thức Legendre bậc nhỏ:
n



0



1



2



3



4



5



6



Đồ thị của các đa thức này (đến bậc n = 10) được vẽ bên dưới:


Tính chất
Tính trực giao
Các đa thức Legendre là trực giao với tích trong L2 trong khoảng −1 ≤ x ≤ 1:


với δmn là hàm delta Kronecker, bằng 1 nếu m = n và 0 nếu m ≠ n.
Lý do của tính trực giao là phương trình vi phân Legendre có thể coi là một bài toán Sturm–Liouville


với các trị riêng λ tương ứng với n(n+1).
Tính đối xứng
Các đa thức Legendre thỏa mãn


Chuẩn hóa
Khi chuẩn hóa, giá trị của đa thức Legendre tại 1 là:


và, theo tính đối xứng ở trên, tại -1 là:


Tại 0:


nếu n là số nguyên lẻ.
Giá trị đạo hàm tại 1 là:


Đệ quy
Đa thức Legendre thỏa mãn các liên hệ đệ quy:
(n + 1)Pn + 1 = (2n + 1)xPn − nPn − 1
và


và



Định lý Arzela-Ascoli
Định lý này được mang tên của hai nhà toán học người Ý Cesare Arzelà (1847-1912) và Cecco d`Ascoli, (thập niên 1260–1327).
Định lý nêu ra một tiêu chuẩn để xác định khi nào một tập các hàm liên tục từ một không gian metric compact đến một không gian metric là compact trong không gian tô pô của sự hội tụ đều.
Phát biểu
Cho
là một không gian metric compact và
là một không gian metric. Khi đó, một một tập con
của
là compact nếu và chỉ nếu nó liên tục đồng bậc, bị chặn từng điểm và đóng. Trong đó,
là không gian metric với phần tử là tất cả các hàm liên tục từ
tới
và metric được xác định bởi công thức d(f,g) = maxXd(f(x),g(x)).
Tập con
được gọi là bị chặn từng điểm nếu với mọi
, tập hợp
là bị chặn trong
.
Tập
được gọi là liên tục đồng bậc trên
nếu

Hàm liên tục




Ánh xạ