Toan luong giac thi dh .DMT

ÔN THI ĐẠI HỌC PHẦN LƯỢNG GIÁC
Lời nói đầu : Lượng giác là một trong những môn học khó của bậc THCS .Bài viết này sẽ viết về vài bài lượn giác cục khó , không thể giải trong chương trình học lớp 10 . Ta không thể giải chúng bằng biện pháp biến đổi tương đương , mà phải dùng 1 số mẹo mới mong giải được
Bài 1 : Chứng minh :
( cos 7r + cos 5r )(2 cos 4r +1 ) = -1
11 11 11 2
Gỉai
1/ Bài toán phụ : ta luôn luôn có : cos r + cos 3r + cos 5r + cos7r + cos 9r = 1
11 11 11 11 11 2
Gỉai bài toán phụ : Đặt A= cos r + cos 3r + cos 5r + cos 7r + cos 9r = 1
11 11 11 11 11 2
Ta có : A .sin r = cos r . sin r + cos 3r . sin r + cos 5r . sin r + cos 7r. sin r + cos 9r .sinr
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
= 1sin 2r + 1 (sin 4r –sìn 2r )+ 1 (sin 6r -sin 4r) +1 (sin8r- sin 6r)
2 11 2 11 11 2 11 11 2 11 11
+ 1 ( sin 10 r - sin 8r ) = 1 . sin 10 r = 1 . sin r => A = 1
2 11 11 2 11 2 11 2
Áp dụng bài toán phụ ,ta có :
Cos r + cos 3r + cos 5r + cos 7r + cos 9r + cos 11r = -1
11 11 11 11 11 11 2
=> 2cos 2r .cos r + 2cos 6r . cos r + 2cos10r .cos r = -1
11 11 11 11 11 11 2
=> 2cos r ( cos 2r + cos 10r + cos 6r ) = -1
11 11 11 11 2
=> 2cos r [ 2 (cos 6r.cos 4r ) + cos 6r ] = -1
11 11 11 11 2
=> 2cos r . cos 6r ( 2cos 4r + 1) = -1
11 11 11 2
=> 1. ( cos 7r + cos 5r) ( 2 cos 4r + 1 ) = -1. ( ĐPCM)
11 11 11 2
Bài 2 : Chứng minh công thức phức tạp của lượng giác :
Sin10 x + cos10x = 63 + 15 .cos 4x + . 5 .cos 8x
128 32 128
Gỉai
Ta luôn luôn có : sin4x+cos4x = 1 -2sin2x.cos2x
Sin6x +cos6x = 1 – 3sin2x.cos2x ( Đề nghị các bạn tự chứng minh )
Ta cần có vài phép biến đổi cụ thể :
Sin8x + cos8x = ( sin8x+cos8x) ( cos2x + sin2x ) = sin10x + cos10x + sin2x.cos2x (sin6x+cos6x) => sin10x+cos10x = sin8x+cos8x – sin2x.cos2x( sin6x+cos6x)
=>sin10x+ cos10x = ( sin4x+cos4x )2 – 2sin4x.cos4x –sin2x.cos2x ( sin6x+cos6x)
= ( 1-2sin2x.cos2x)2 -2sin4x.cos4x –sin2x.cos2x( 1-3sin2x.cos2x)
= 1-4sin2x.cos2x+4 sin4xcos4x -2 sin4x.cos4x– sin2x.cos2x+ 3sin4x.cos4x
=1 + 5sin4x.cos4x – 5 sin2x.cos2x ( *)
Ta có : sin2x.cos2x = sin22x = ( 1 - cos 4x)
4 8
Sin4x.cos4x = sin4 2x = (1-cos4x)2 = 1 – 2cos4x + cos24x = 1-2cos4x+(1+cos8x)
16 . 2 . 64 . 2 .
16 64
=2 – 2cos4x+1+ cos8x = 3 + cos8x – 2cos4x
128
Do đó : (*) ( sin10x +cos10x = 1+ 15 + 5cos8x -10cos4x - 5 – 5cos4x
128 8
= 63 + 15 .cos4x + . 5 .cos 8x ( ĐPCM )
128 32 128
Bài 3 : Cho sinx+ cosx = m .Tính sin7x + cos7x theo m
Gỉai
Ta có : ( sin4x+cos4x)(sin3x+cos3x) = sin7x+cos7x + sin3x.cos3x ( sinx+cosx)
sin7x + cos7x = ( sin4x+cos4x)(sin3x+cos3x) – sin3x.cos3x ( sinx+cosx)
Ta có : sinx+ cosx =m => 1 + 2 sinx.cosx = m2 => sinx.cosx = m2 -1
2
Sin4x+cos4x = 1- 2sin2x.cos2x = 1 – 2 ( m2 -1)2 = 2 – m4+2m2 -1 = 2m2 + m4 -1
2 2 2
Sin3x+cos3x = (sinx+cosx)(1 – sinx.cosx) = m ( 1 – m2 -1) = m ( 3-m2 )
2 2
Do đó : sin7x