Toan_HSG12_NAMDINH_2006

Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 12, 2006
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH

 Trường học
 Học sinh giỏi tỉnh Nam Định

 Lớp học
 12

 Năm học
 2006

 Môn thi
 Toán học

 Thời gian
 150 phút

 Thang điểm
 20

 Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Nam Định
Bài 1 (5 điểm).
Cho hàm số
(với m là tham số).
1. Khi m = 0, gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có hoành độ x = 0,
gọi (d`) là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tìm cosin của góc giữa (d) và (d`).
2. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau.
Bài 2 (4 điểm).
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn elip (E) có phương trình:

và đường tròn (C) có phương trình:
. Từ điểm M trên (C) ta kẻ
hai tiếp tuyến đến (E) là
và
với tiếp điểm theo thứ tự là
và
.
1. Khi M có hoành độ
, hãy viết phương trình các đường thẳng
và
.
2. Khi M thay đổi trên (C), hãy tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ M đến đường thẳng
.

Bài 3 (3 điểm).
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều OBC.O`B`C`, biết: C(1;0;0), O`(0;0;1)
và B nằm ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ Oxy. Gọi M, N, E theo thứ tự
là trung điểm các cạnh BC, CC`, C`O`.
1. Xác định tọa độ của điểm P thuộc đường thẳng OO` để PM = PE.
2. Với điểm P vừa tìm được, hãy tính thể tích khối tứ diện PMNE.

Bài 4 (5 điểm).
1. Giải phương trình:

2. Giải phương trình:
với
.

Bài 5 (3 điểm).
1. Chứng minh rằng:
Nếu a là số dương sao cho bất phương trình
, nghiệm đúng với mọi
thì
.
2. Tìm tất cả các số dương a là điều kiện cần và đủ để bất phương trình:

, nghiệm đúng với mọi số thực x.