Toan_HSG12_NAMDINH_2005

Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 12, 2005
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH

 Trường học
 Trung học phổ thông

 Lớp học
 12

 Năm học
 2005

 Môn thi
 Toán học

 Thời gian
 150 phút

 Thang điểm
 20


Câu I (6,0 điểm).
Cho hàm số
, (m là tham số).
1) Khi
, hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
2) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R.

Câu II (4,0 điểm).
Tính tích phân


Câu III (7,0 điểm).
Trên mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường parabol (P) có phương trình:
và đường tròn (C) có phương trình:

1) Chứng minh rằng (P) và (C) có đúng 4 giao điểm phân biệt.
2) Cho điểm A(1;6) thuộc đường tròn (C). Hãy lập phương trình đường tròn đi qua điểm M(2;-1) và tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm A.
3) Giả sử đường thẳng (d) thay đổi đi qua điểm A sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
. Gọi
thứ tự là tiếp tuyến của (P) tại tiếp điểm
. Biết rằng
cắt
ở điểm N. Hãy chứng minh điểm N nằm trên một đường thẳng cố định.

Câu IV (3,0 điểm).
Chứng minh rằng với mọi số thực x thuộc khoảng
, ta đều có: