Toan_HSG11_NAMDINH_2002

Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2002
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH

 Trường học
 Trung học phổ thông

 Lớp học
 11

 Năm học
 2002

 Môn thi
 Toán học

 Thời gian
 150 phút

 Thang điểm
 20


Câu I   (5 điểm).
1) Chứng minh với mọi giá trị của x, ta có:

2) Giải phương trình:


Câu II   (5 điểm)
Tính các góc của tam giác ABC nếu tam giác đó thỏa mãn:


Trong đó BC = a, CA = b, AB = c và A, B, C là độ lớn 3 góc của tam giác ABC đối diện lần lượt với 3 cạnh BC, CA và AB.

Câu III   (7 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (O) bán kính R và điểm A cố định trên đường tròn (O). Tứ giác ABCD biến thiên, nội tiếp trong đường tròng (O) sao cho 2 đường chéo luôn vuông góc với nhau. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) tại A ta lấy điểm S. Nối S với A, B, C, D.
1) Chứng minh

2) Nêu cách xác định điểm I cách đều 5 điểm A, B, C, D và S.
3) Tứ giác ABCD là hình gì để diện tích của nó lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.

Câu IV   (3 điểm).
Cho các số thực a, b, c và d thỏa mãn điều kiện:


Chứng minh rằng tồn tại các số thực u và v sao cho:

và
.

------------------