Toán học và Âm nhạc

Toán trong Âm
Ai đánh ghita cũng biết khái niệm hợp âm (dân chơi đàn gọi là gam). Chỉ cần 3 gam là đánh đệm cho được rất nhiều bài hát. Bài nào vui, thì dùng hợp âm đô trưởng, fa trưởng, và son 7, bài buồn thì la thứ, rê thứ, mi 7. Nhưng trong các sách âm nhạc ít khi thấy giải thích nguồn gốc toán học của những hợp âm này.
Tại sao đánh 3 nốt Đô (C), Mi (E), Son (G) lên thì nó hòa với nhau rất tốt, thành hợp âm Đô trưởng, nhưng ví dụ đánh Đô và Fa thăng (F#) thì lại không hợp? Đó là do những hòa âm trong âm nhạc liên quan đến các phân số đơn giản.
Nhớ lại, trong 1 octave (quãng tám) có 12 nốt:
C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B
Quy định là nốt A (La) của octave giữa tần số là 440 Hz. Giá trị chính xác của con số này không phải quan trọng đối với ta. Quan trọng là trong âm nhạc hiện đại, tần số các nốt trong octave lập thành một cấp số nhân, số sau hơn số trước 21/12≈1.0595 lần. Như vậy tần số các nốt là:
C= 440×2-9/12≈261.6 Hz C#= 440×2-8/12≈277.2 Hz, v.v.
Ta lấy tần số của nốt Son chia cho tần số nốt Đô thì thương là:
G/C = 27/12=1.4983…≈3/2
đây gọi là quãng 5 (perfect fifth),
và nếu lấy thương của tần số nốt Mi cho nốt Đô thì có:
E/C = 24/12=1.2599…≈5/4 (quãng ba trưởng)
Như vậy tỉ lệ tần số của các nốt trong hợp âm trưởng (C:E:G) là gần bằng 4:5:6. Do tỷ lệ giữa các tần số gần với các phân số đơn giản (tử số và mẫu số nhỏ) nên nghe êm tai. Trái lại tỷ lệ giữa fa thăng (F#) và đô (C) là


 là số không gần với một phân số đơn giản nào, nên đánh F# cùng với C không hợp. Bạn đọc có thể tự tìm ra tỷ lệ đằng sau hợp âm la thứ: La – Đô – Mi.
Nhạc truyền thống của Việt Nam và nhiều dân tộc là nhạc ngũ âm (pentatonic, “cung thương làu bậc ngũ âm”), có thể xây dựng bằng một cấp số nhân khác với công bội là 3/2. Các nốt trong cung ngũ âm đại khái gần với
F – C – G – D – A
trong nhạc phương tây (không có E và B). Nếu ta chỉnh các nốt cho có 4 quãng năm lý tưởng thì tỷ lệ các tần số phải là:
1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64
(Mỗi lúc xuống 1 octave tần số giảm đi 2 lần.)
Các bài ngũ âm cũng có thể đánh được hoàn toàn bằng các phím đen trên đàn piano: F#, C#, G#, D#, A#.
Ví dụ bài Xòe hoa là hoàn toàn ngũ âm (dân ca Thái — lời Kinh):
Cùng nhau múa vui, chân em bước nhịp câu ca C     F    A   G    G   G   A    D    F  F
Em múa vui em mừng cuộc đời. G   A   G  F   D    C    C
Ơn Bác Hồ ghi nhớ muôn đời. G   A  D   F   G   F    D
Vui sống trong độc lập tự do G    A     G    F   D   C  F
Nhạc hiện đại đôi khi cũng dùng ngũ âm. Bài Tiếng hát trong rừng Pắc Bó chỉ loanh quanh 5 nốt đến gần cuối:
Trông vời lưng núi F      C  F-A   A Khuổi Nậm rì rào núi cao tầng mây F      C  D   F   G   F   D    G
Nhạc Scotland truyền thống (Auld Lang Syne chẳng hạn) cũng là ngũ âm.
Vấn đề của thang có 4 quãng năm lý tưởng là giữa A và F tỉ lệ là 81/64, nhưng quãng ba lý tưởng phải là 5/4=80/64. Nếu ta định nghĩa A là 5/4 so với F, thì lại mất quãng năm D-A. Nhạc phương Tây đã bị vấp phải vấn đề này trong một thời gian dài, là quãng ba trưởng (5/4) không chính xác bằng 4 quãng 5 (3/2) trừ 2 quãng 8:


Ngày xưa người ta chỉnh piano chỉ đánh được một số gam ở giữa, càng ra xa nghe càng chóe. Việc chỉnh piano là một sự thỏa hiệp giữa quãng 5 và quãng 3, không bao giờ cả 2 quãng đều chuẩn cả hai. Đến thời Bach thì người ta chỉnh được cho tất cả các