TOÁN HỌC TUỔI THƠ

MỘT SỐ BÀI TOÁN
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để n4 + n3 + 1 là số chính phương.
Giải: Giả sử n4 + n3 + 1 là số chính phương. Vì n4 + n3 + 1 > (n2)2 nên ta có:
n4 + n3 + 1 = (n2 + k)2 = n4 + 2kn2 + k2, với k là một số nguyên dương nào đó.
=>n2(n – 2k) = k2 – 1 0
Đặc biệt, k2 – 1 chia hết cho n2, do đó k2 = 1 hoặc n2 k2 – 1
Nếu k2 = 1 thì k = 1 và n2(n – 2) = 0 ta có n = 2. Thử lại: 24 + 23 + 1 = 52, thoã mãn
Ngoài ra khi k 1 thì k2 > k2 – 1 n2 => k > n => n – 2k < 0; mâu thuẫn với điều kiện n2(n – 2k) = k2 – 1 0.
Vậy ta chỉ tìm được n = 2 thoã mãn bài toán

Bài 2: Tìm cặp số nguyên không âm x, y thoã mãn y2(x + 1) = 1576 + x2
Giải: Giả sử cặp số nguyên không âm x, y thoã mãn y2(x + 1) = 1576 + x2. Khi đó:
y2(x + 1) = 1577 + x2 – 1 => (y2 – x + 1)(x + 1) = 1577 = 19.83: Chỉ xảy ra trong các khả năng sau: Nếu x + 1 = 1 thì x = 0, y2 = 1576
Nếu x + 1 = 19 thì x = 18, y2 = 100
Nếu x + 1 = 83 thì x = 82, y2 = 100
Nếu x + 1 = 1577 thì x = 1576, y2 = 1576
Do 1576 không phải là số chính phương nên ta có nghiệm là: (18, 10) và (82, 10)

Bài 3: Cho số A = gồm 2003 chữ số 1 ở bên trái dấu * và 2003 chữ số 3 ở bên phải dấu *. Hãy thay dấu * bằng chữ số nào để được một số chia hết cho 7.
Giải: Để ý rằng:
A = 102004 + (*).102003 + = (*).102003 + (102004 + 3(1)
Mặt khác: 103 -1(mod7) suy ra 102003 5(mod7)
=> 102003 -1 4(mod7) 2(mod7) (2)
102004 1(mod7) => 102004 + 3 4(mod7) (3)
Để A chia hết cho 7, từ (1), (2), (3) => A (*).5 + 2.4 (*).5 + 10(mod7)
Chú ý rằng 0 * 9 từ d=1 suy ra ngay * = 4. Vậy số cần tìm là:

Bài 4: Cho a, b, c là 3 số thoả mãn điều kiện:
Tính tổng: a2001 + b2002 + c2003
Giải: Từ (1) suy ra a, b, c 1. Trừ từng vế của (1) cho (2) ta có:
a2002(1 – a) + b2002(1 – b) + c2002(1 – c) = 0 (3)
Vì a, b, c 1 nên a2002(1 – a) 0; b2002(1 – b) 0; c2002(1 – c) 0
Do đó: (3) Từ đó ta có: a2001 = a2003; b2002 = b2003
Suy ra a2001 + b2002 + c2003 = a2003 + b2003 + c2003 = 1

Bài 5: Cho x, y, z là các số thực không âm bất kỳ; chứng minh:
x(x – z)2 + y(y – z)2 (x – z)(y – z)(x + y – z) (1)
Giải: Lần lượt gọi vế phải và vế trái của (1) là F và T, ta có:
T – F = x(x – z)2 + y(y – z)2 – (x – z)(y – z)(x + y – z)
= (x(x – z)2 – (x – z)(y – z)x) + y(y – z)2 – (x – z)(y – z)y + (x – z)(y – z)z
= x(x z)(x – y) + y(y – z)(y – x) + z(x – z)(y – z)
= (x – y)(x2 –