Toan cao cap

BÙI QUANG THỊNH





HÌNH HỌC AFFINE
và
HÌNH HỌC EUCLID






















Mỹ Tho, tháng 9 năm 2010





Lời nói đầu





Hình học là một trong những ngành có lịch sử lâu đời nhất của Toán học. Cũng như Số học, Hình học bắt nguồn từ chính hoạt động thực tiễn của con người từ thuở bình minh của nhân loại, từng bước hoàn thiện và phát triển theo thời gian "trở thành một khoa học suy diễn và trườu tượng".
Đóng góp vào quá trình phát triển ấy là công sức của biết bao thế hệ các nhà Toán học. Trong số đó, chúng ta không thể không nhắc đến nhà bác học vĩ đại Euclid, người đã có ảnh hưởng rất to lớn đến sự phát triển sau này của Hình học. Euclid để lại khá nhiều các tác phẩm nhưng nổi tiếng nhất vẫn là bộ Cơ sở. Với tác phẩm Cơ sở, Euclid hệ thống hóa kho kiến thức hình học mà loài người tích lũy được cho đến thời ông đang sống thành một lý thuyết hoàn chỉnh. Ông được xem là người đầu tiên đặt nền móng cho phương pháp tiên đề và tên ông được đặt cho hình học đã được ông xây dựng - Hình học Euclid. Tuy nhiên, do những hạn chế mang tính lịch sử, Cơ sở đã vấp phải một số thiếu sót mà đến hơn 2000 năm sau, năm 1899, nhà bác học Đức D. Hilbert (1862 - 1943) với công trình Cơ sở hình học mới xây dựng thành công hệ tiên đề không thừa không thiếu cho Hình học Euclid.
Hệ tiên đề của Hilbert dù đã khắc phục được ba yêu cầu không mâu thuẫn, độc lập, đầy đủ của môt hệ tiên đề và đặt nền móng cho sự ra đời của một số hệ tiên đề khác nhưng nó lại gặp phải khó khăn hầu như không khắc phục nổi. Đó là "bài toán" về mở rộng số chiều của không gian, một nhu cầu của thực tiễn.
Tuy nhiên, "bài toán" đã được giải quyết với những thành tựu của Đại số mà đặc biệt là Đại số tuyến tính. Nếu hệ tiên đề Hilbert có đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng (trong hình học phẳng) hay điểm, đường thẳng, mặt phẳng (trong hình học không gian) cùng với các mối tương quan liên thuộc, thứ tự, toàn đẳng, liên tục thì hệ tiên đề Weil (1885 - 1955) ra đời với các đối tượng cơ bản là điểm và vector cùng với tương quan cơ bản là phép cộng vector, phép nhân vector với một số, tích vô hướng và phép đặt vector từ một điểm. Hệ tiên đề này thể hiện rõ quan điểm của Toán học hiện đại khi xây dựng Hình học nhất quán trên cơ sở của lý thuyết tập hợp và ánh xạ. Nó cho phép chúng ta








Lời nói đầu 3
nghiên cứu Hình học thông qua Đại số để tránh những suy luận dựa vào trực giác thiếu chặt chẽ và mở rộng số chiều không gian một cách dễ dàng.
Với mục đích giúp sinh viên tiếp cận Hình học theo quan điểm mới sau khi đã được trang bị các kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính, tài liệu này được soạn thảo. Tài liệu gồm hai chương, trình bày một cách cơ bản nhất các kiến thức cần thiết của Hình học affine và Hình học Euclid. Mong rằng với chút đóng góp nhỏ nhoi, tài liệu giúp cho sinh viên có cái nhìn tổng quát hơn về Hình học và nhìn lại Hình học ở trường trung học phổ thông mới hơn với "góc nhìn hiện đại".
Dù đã được soạn thảo kỹ lưỡng nhưng tài liệu không tránh khỏi có những sai sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý bạn đọc.
Mỹ Tho, tháng 9 năm 2010 Bùi Quang Thịnh











































www.thinhbui.wordpress.com





Những kí hiệu





Trong tài liệu này chúng ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây:

N tập hợp số tự nhiên
N∗ tập hợp số tự nhiên khác 0 Z tập hợp số nguyên
Q tập hợp số hữu tỉ R tập hợp số thực C tập hợp số phức





Mục lục






Lời nói đầu 2
Những kí hiệu 4
Mục lục 5

Chương 1. Hình học affine 7