Tô-pô-là-gì

Đi nghỉ hè về ít lâu rồi, nay lại viết một chút cho vui. Sắp tới tôi sẽ dạy con tôi về tô pô (topology). Câu hỏi đầu tiên là tô pô là gì, để làm gì ? Tôi nhớ, hồi học đại học, tôi theo học chuyên ngành tô pô – hình học, nhưng cũng chưa bao giờ được thầy nào đề cập đến câu hỏi “tô pô là gì”. Cứ học một đống khái niệm về tô pô, và nghiễm nhiên chấp nhận rằng tô pô là môn học về những khái niệm trừu tượng đó (đóng, mở, compact, liên thông, đồng luân, đồng điều, v.v.). Cũng là kiểu “học gạo” thôi, nhồi đi nhồi lại vào đầu lâu ngày thành quen. Nhưng có lẽ phải mất rất lâu sau mới tự hiểu ra tô pô là gì, và giá như khi còn đi học được thày giải thích ngọn nguồn cho biết tô pô là gì và vì sao lại cần học tô pô, thì có lẽ tốt hơn.
 
Đối với phần lớn mọi người, thì từ “tô pô” là một từ khá xa lạ. Tôi còn nhớ, có lần có một cậu bạn trẻ hơn tôi một ít hỏi tôi học gì, tôi bảo học tô pô, cậu này liền nói là “anh bịa, làm gì có môn gì gọi là tô pô”. Trong quan điểm của “người thường”, toán học chỉ gồm có số học, rồi đến đại số, hình học, giải tích, còn “tô pô” là “bịa” rồi. Ngay các sinh viên hay nghiên cứu sinh ngành toán ở VN, nếu không theo học chuyên ngành hình học thì chắc cũng ít ai biết về tô pô. Vậy thì tô pô là gì ? Nói một cách đơn giản, tô pô (topology) chẳng qua là giải tích định tính (qualitative analysis). Cụm từ qualitative analysischắc dễ hình dung hơn nhiều so với từ topology, bởi vì phần lớn mọi người (nếu đã qua đại học) có biết ít nhiều về giải tích là gì. Thế nào là định tính ? Chẳng hạn khi ta nói “cái ô tô màu xanh lá cây”, thì “xanh lá cây” ở đây là định tính. Nếu nói đó là màu #008B45 theo bảng màu RGB (red-green-blue) thì đấy cũng là một màu xanh lá cây nhưng đã được định lượng chính xác hơn so với chỉ là “xanh lá cây”. Định tính là để nói về các tính chất chung, đối ngược với định lượng là để nói về các con số cụ thể chi tiết. Khi nói cái quả táo này to, thì đấy là định tính, còn khi nói nó nặng 425gr, thì đó là định lượng. Khi nói “phương trình này có nghiệm” thì đó là định tính, còn viết cụ thể ra nghiệm thì thành định lượng. Khi nói “đây là một đa tạp compact 3 chiều” thì các từ “đa tạp”, “compact”, “3 chiều” là các khái niệm tô pô, vì chúng là định tính, còn khi viết cụ thể ra phương trình của cái đa tạp đó trong không gian R4 chẳng hạn, thì đã thành hình học có tính định lượng hơn. Từ topology có gốc Hy Lạp. Topo có nghĩa là “chỗ, vùng, miền, …” còn “logy” có nghĩa là “nghiên cứu, tìm hiểu, …”. Từ này được nhà toán học Hausdorff đưa ra vào năm 1914. Còn trước đó, tô pô được biết đến dưới tên gọi “analysis situs” (từ “situs” cũng có nghĩa là “chỗ, vùng, …”, nhưng là gốc Latin). Vào thập kỷ cuối của thế kỷ 19, Henri Poincaré có viết một loạt bài báo nhan đề “Analysis Situs”, trong đó ông đưa ra các khái niệm nền tảng cho tô pô, như đồng luân (homotopy), đồng điều (homology), đối ngẫu Poincaré, v.v. Vì có các công cụ đại số được đưa vào để nghiên cứu tô pô bắt đầu từ thời Poincaré, nên có một chuyên ngành toán hiện đại gọi là tô pô đại số. Cụm từ “analysis situs” được Leibniz dùng từ thời thế kỷ 17 để chỉ “hình học của các tình huống” (geometry of situations), với ý tưởng là đưa ra một ngôn ngữ hình học trừu tượng chung để có thể dùng để mô tả [một cách định tính ?] nhiều tình huống khác nhau. Dần dần cụm từ đó trở thành có nghĩa là tô pô, và ngày nay thì tô pô và hình học thường được coi là đi đôi với nhau. Có một tạp chí toán quốc tế nổi tiếng mang tên “Geometry and Topology”. Các bài toán tồn tại hay không tồn tại những thứ gì đó trong toán học (ví dụ như tồn tại nghiệm của phương trình, điểm cực đại của hàm số, điểm bất động của ánh xạ, đồng phôi giữa hai đa tạp, v.v.) nhiều khi có thể coi là những bài toán có tính tô pô, và do vậy có thể sử dụng