Tổ hợp - Xác suất

chuyên đề 6
Tổ hợp, khai triển nhị thức niutơn và xác suất

Chuyên đề
Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp
I. Lý thuyết
1. Hoán vị.
* Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử, mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tậphợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
* Số hoán vị.
Số hoán vị của n phần tử, được ký hiệu là Pn
Pn = n!

Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi trong một bàn học sinh.
Giải
Số cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi bằng số hoán vị của 4 phần tử
Vậy P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 cách sắp xếp.

2. Chỉnh hợp.
* Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ( 1)
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
* Số chỉnh hợp.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là
= (1 ( k ( n)
+ Chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của n phần tử.


Ví dụ 2: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.
Giải
Có = 5.6.7 = 210 số có 3 chữ sốkhác nhau

3. Tổ hợp.
* Định nghĩa:
Giả sử tập A có n phần tử (n ( 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho
* Số các tổ hợp.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là
=

Ví dụ 3: Hãy tính tổ hợp
Giải
Ta có:

Ví dụ 4: Một cỗ bài túlơkhơ có 52 quân bài, chia cỗ bài trên thành 4 phần bằng nhau (mỗi phần 13 quân). Hỏi có bao nhiêu cách chia được 1 phần sao cho:
a. có 2 con át.
b. có ít nhất một con át.
Giải
a. Số cách chọn 2 con át từ 4 con át là:
Số cách chọn 11 con bài còn lại trong 48 con bài là:
Theo quy tắc nhân ta có: cách chia.
b. Số cách chia được phần có 13 con bài là
Số cách chia được 1 phần mà không có con át nào cả là:
Vậy số cách chia được 1 phần có ít nhất 1 con át là -

* Tính chất của tổ hợp:
+ Tính chất 1:
+ Tính chất 2:

Ví dụ 3: Chứng minh rằng n, r ( Z

II. Các bài tập vận dụng:
* Bài toán đếm có điều kiện:
Bài 1. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
Giải.
Gọi 3 tỉnh có tên là A, B, C
Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có
Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có
Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có
Theo quy tắc nhân ta có: = 207900

Bài 2. Đội thanh niên xung kích của nhà trường có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này không quá 2 lớp.
Giải
Số cách