TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN SỐ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA
BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN SỐ

Đinh Văn Trung Tú & K0

Bài viết này xin trao đổi về một phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức chứa hai biến số nhờ tập giá trị, trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước.
Bài toán tổng quát: Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện: G(x; y) = 0
Tìm GTLN , GTNN (nếu có) của biểu thức P = F(x ; y).
Phương pháp giải :
Gọi T là tập giá trị của P. Khi đó, m là một giá trị của T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm (x; y):


Sau đó tìm các giá trị của tham số m để hệ trên có nghiệm. Từ đó suy ra tập giá trị T của P, rồi suy ra GTLN , GTNN (nếu có) của P.
Sau đây là các bài toán minh hoạ .
Bài toán 1: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện:

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức F =

Lời giải: Gọi T là tập giá trị của F. Ta có m ( T ( Hệ sau có nghiệm:

(I)
Đặt:
thì ( x, y ( ( S, P: S2 ≥ 4P
Hệ (I) trở thành:
(
(
(II)
Ta có: S2 ≥ 4P ( S2 ≥
( S2 – 4S ≤ 0 ( 0 ≤ S ≤ 4
Từ đó, hệ (I) có nghiệm ( Hệ (II) có nghiệm (S; P) thoả mãn S2 ≥ 4P
( Phương trình S2 – 2S – 3m = 0 có nghiệm S: 0 ≤ S ≤ 4, điều này xảy ra khi và chỉ khi:

(
( 0 ≤ m ≤ 8. Do đó: T1 = [0; 8]
Vậy: minF = 0, maxF = 8.
Bài toán 2: Cho các số thực x, y thoả mãn: x2 - xy + y2 = 3
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: G = x2 + xy - 2y2
Lời giải: Gọi T là tập giá trị của G. Ta có m ( T ( Hệ sau có nghiệm:

(III)
Nếu y = 0 thì hệ (III) trở thành:
(

Nếu y ≠ 0 thì đặt x = ty ta có hệ:

(
(
(IV)
Hệ (III) có nghiệm ( Hệ (IV) có nghiệm y ≠ 0
( Phương trình: (m - 3)t2 – (m + 3)t + m + 6 = 0 (2) có nghiệm.
Nếu m = 3 thì (2) có nghiệm t =

Nếu m ≠ 3 thì (2) có nghiệm ( ∆t = - 3m2 – 6m + 81
0
(

(m ≠ 3 )
Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị của m để hệ (III) có nghiệm là:

. Do đó: T2 = [
;
]
Vậy: minG =
; maxG =

Bài toán 3: (Tuyển sinh đại học khối A năm 2006 )
Cho hai số thực thay đổi x ≠ 0; y ≠ 0 thoả mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

Lời giải: Gọi T là tập giá trị của A. Ta có m ( T ( Hệ sau có nghiệm x ≠ 0; y ≠ 0:

(

(
(
(V)
Đặt
(S2 ≥ 4P), ta có hệ:
(VI)
Hệ (V) có nghiệm x ≠ 0; y ≠ 0 ( Hệ (VI) có nghiệm (S; P) thoả mãn S2 ≥ 4P.
Vì
với mọi x ≠ 0; y ≠ 0 (
với mọi x ≠ 0; y ≠ 0
Từ đó:
Nếu m ≤ 0 thì hệ (V) vô nghiệm
Nếu m > 0 thì từ phương trình


(
thay vào phương trình đầu của hệ (VI) được:
(
(vì SP > 0 nên P ≠ 0)
Để có P từ phương trình này thì
(
và ta được:

, do đó
. Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm (S; P) thoả mãn S2 ≥ 4P khi và chỉ khi:


(

Tóm lại, các giá trị của m để hệ (V) có nghiệm x ≠ 0; y ≠ 0 là:

Do đó: T3 = (0; 16] {1}
Vậy: max A = 16 (chú ý không tồn tại A min)
Bài toán 4: ( HSG quốc gia - Bảng A + B năm 2005 )