Tìm cực trị hàm số

Vấn đề 6. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA

I. Định nghĩa
Giả sử hàm số xác định trên tập và
1) được gọi là một điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho và
Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số
2) được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho và
Khi đó, được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
II. Điều kiện để hàm số có cực trị
1) Điều kiện cần
Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm Khi đó, nếu có đạo hàm tại thì
2) Điều kiện đủ
Dấu hiệu 1. Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng và Khi đó:
Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểmthì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểmthì hàm số đạt cực đại tại điểm
Dấu hiệu 2. Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm Khi đó:
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
III. Các phương pháp tìm cực trị của hàm số
Phương pháp 1.
Tìm
Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Lập bảng xét dấu Nếu đổi dấu khi x qua thì hàm số đạt cực trị tại
Phương pháp 2.
Tìm
Giải phương trình tìm các nghiệm
Tính
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
1)
2)
Giải
1)
Tập xác định:
Đạo hàm:
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt

Vậy giá trị cần tìm là: và
2)
Tập xác định:
Đạo hàm:
Hàm số có cực đại và cực tiểu haycó hai nghiệm phân biệt khác –1

Vậy giá trị cần tìm là:





Ví dụ 2. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị
1)
2)
Giải
1)
Tập xác định:
Đạo hàm:
(1)
Xét :

đổi dấu khi x đi qua
Hàm số có cực trị không thỏa
Xét :
Hàm số không có cực trị không đổi dấu phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Vậy giá trị cần tìm là
2)
Tập xác định:
Đạo hàm:
(1)
Hàm số không có cực trị không đổi dấu phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Xét
thỏa
Xét
Yêu cầu bài toán vô nghiệm
Vậy giá trị cần tìm là:

Ví dụ 3. Cho hàm số Chứng minh với mọi m hàm số luôn luôn có cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị là không đổi.
Giải
Tập xác định:
Đạo hàm:

Vậy luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
Hàm số luôn luôn có cực trị
Tọa độ các điểm cực trị
Khoảng cách giữa hai điểm A, B là:
= const (đpcm)

Ví dụ 4. Cho hàm số Định m để hàm số đạt cực đại tại
Giải
Tập xác định:
Đạo hàm:
Điều kiện cần
Hàm số đạt cực đại tại

Điều kiện đủ
+ Với

Bảng biến thiên

x 0 1 2
+ 0 - - 0 +
CĐ
y


CT

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại
không thỏa.
+ Với

Bảng biến thiên