Tiểu luận Phương trình nghiệm nguyên

Giáo viên hướng dẫn: thầy ĐỖ KIM SƠN









Lời nói đầu Trang
Phần 1: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 4
Phương pháp 1:Xét số dư của từng vế. 5
Phương pháp 2: Đưa về dạng tổng. 5
Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức . 6
Phương pháp 4: Dùng tính chia hết, tính đồng dư . 8
Phương pháp 5: Dùng tính chất của số chính phương 11
Phương pháp 6: Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn 14
Phương pháp 7: Xét chữ số tận cùng 15
Phương pháp 8: Tìm nghiệm riêng 15
Phương pháp 9: Hạ bậc 16
Phần 2: Các dạng phương trình có nghiệm nguyên 18
Dạng 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn 19
Dạng 2: Phương trình bậc hai có hai ẩn 19
Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn. 21
Dạng 4: Phương trình đa thức có ba ẩn trở lên 23
Dạng 5: Phương trình dạng phân thức 24
Dạng 6: Phương trình dạng mũ 25
Dạng 7: Hệ phương trình vô tỉ 26
Dạng 8: Hệ phương trình với nghiệm nguyên 28
Dạng 9: Hệ phương trình Pytago 28
Dạng 10: Phương trình Pel 30
Dạng 11: Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên. 32
Phần 3: Bài tập áp dụng 33
Phụ lục 48
Lời cảm ơn 52














Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của Số học và Đại số, từ những bài toán về tính mỗi loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến các chuyên gia toán học lớn với các bài toán như định lý lớn Fecma. Được nghiên cứu từ thời Điôphăng thế kỉ thứ III, phương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán học.
Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng, vì thế nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp.
Thời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên”. Chuyên đề này là sự tập hợp các phương pháp cũng như các dạng phương trình khác nhau của phương trình nghiệm nguyên, do chúng em sưu tầm từ các nguồn kiến thức khác nhau. Chúng em mong muốn quyển chuyên đề sẽ giúp ích một phần cho việc tìm hiểu của các bạn học sinh về vấn đề nêu trên.
Quyển chuyên đề này gồm có 3 phần chính. Đầu tiên chúng em xin giới thiệu các phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm nguyên, sau đó là việc tìm hiểu cách giải các dạng phương trình khác nhau của nó và cuối cùng là phần bài tập. Trong quá trình biên soạn, sưu tầm và tập hợp các phương pháp cùng những ví dụ, bài tập, tuy chúng em đã cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót là điều khó tránh khỏi. Vì vậy, chúng em mong thầy và các bạn khi xem xong quyển chuyên đề này hãy đóng góp ý kiến để giúp những chuyên đề sau được hoàn thành tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn!


Nhóm biên tập






















PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ
Ví dụ 1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
a)

b)

Giải:
a) Dễ chứng minh
chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên
chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
b)
chia cho 4 có số dư 0, 1 nên
chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình


Giải
Biến đổi phương trình:

Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên
chia cho 3 dư 2.
Chỉ có thể:
,
với k nguyên
Khi đó:





Thử lại,
,
thỏa mãn phương trình đã cho.
Đáp số
với k là số nguyên tùy ý
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG
Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương.
Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của