Thi HSG 12Anluongdong

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
2006-2007


Bài 1: (4đ) Giải phương trình :


Bài 2: (4đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
nếu :


Bài 3: (4đ)Cho dãy
.Với

Hãy tìm phần nguyên của A biết :


Bài 4: (4đ) Cho dãy (a
) với :

Chứng minh tổng tất cả các số hạng của dãy nhỏ hơn 1,03.

Bài 5: (4đ)Cho tứ diện ABCD trong tam giác BCD chọn điểm M và kẻ qua M các đường thẳng song song với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt (ACD), (ABD) và (ABC) tại
. Tìm vị trí của M để thể tích hình tứ diện
lớn nhất.








ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 12
2006-2007

BÀI 1: (4đ)
Gọi

(1đ)



(1đ)
Đặt a=

Nên hàm số f tăng trên (-∞,agiảm trên [a,+∞). Do đó phương trình f(x)=1có không quá hai nghiệm số và : f(2)=f(4)=1. (1đ)
Vậy nghiệm của phương trình là 2 và 4. (1đ)
BÀI 2: (4đ)
giả thiết tương đương:


hay :

các bất đẵng thức trên xác định một hình bình hành có tâm là gốc O.(1đ)
Biểu thức
với M(x,y) (1đ)
OM lớn nhất khi M là đỉnh của hình bình hành.
Giải hệ:

và

Ta có
,
(1đ)

,

Giá trị lớn nhất phải tìm là:
(1đ)
BÀI 3: (4đ)
(1đ)


(1đ)

,
(1đ)
Vậy phần nguyên của A bằng 1 (1đ)
Bài 4: (3đ)(Phương pháp lượng giác hoá)
Đặt


(1đ)


Ta có

Suy ra :


vậy : S < 1,03 (1đ)
Bài 5:


Kéo dài BA;CA;DA lần lượt lấy
sao cho:


Suy ra :
(1đ)
Phép tịnh tiến theo vec tơ
biến tứ diện
thành
(1đ)
Áp dụng phương pháp thể tích,chứng minh :

(1đ)
Suy ra :
lớn nhất khi:

Do đó M là trọng tâm của tam giác BCD (1đ)