Tài liệu PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP

A . MỞ ĐẦU :
I. Cơ Sở lí luận :
Qui nạp là quá trình quan sát những qui luật chung của một sự việc trong từng trường hợp. Qui nạp toán học được dùng để chứng minh các định lý toán học mang tính chất tổng quát.
Trong quá trình học toán, giải toán ta thường trình bày lời giải theo hướng diễn dịch. Nhưng trong lúc hình thành nên công thức toán thì ta thường dùng hình thức qui nạp.
II . Thuận lợi , khó khăn :
Thuận lợi: Ngày nay, khoa học công nghệ phát triển, con người có khả năng tính toán với những con số rất lớn. Trong ứng dụng toán học chỉ giới hạn đến một chừng mực nào đó theo yêu cầu. Người ta chỉ quan tâm đến kết quả chính xác của nó, mà đôi khi ít quan tâm đến tính tổng quát của nó.
Khó khăn: Trong toán học việc một công thức, một định lý mang tính đúng đắn và tổng quát có ý nghĩa rất lớn. Nhưng điều kiện nghiên cứu, thời gian kiểm nghiệm còn hạn chế. Đặc biệt trong trường phổ thong, việc chứng minh định lý theo phương pháp qui nạp gặp rất nhiều khó khăn. Bởi khả năng kiểm chứng trường hợp cụ thể. Nên điều chứng minh luôn để lại cho học sinh một sự hoài nghi nào đó. Đặc biệt là phương pháp chứng minh bằng qui nạp.

B. NỘI DUNG :
I. Một cách hình thành : Phương pháp chứng minh bằng qui nạp.
Một nhà tự nhiên học, bằng sự ngẫu nhiên nào đó, quan sát một sự phát triển nào đó theo qui luật.
1 + 8 + 27 + 64 = 100
* Nhận xét: 13 + 23 + 33 + 43 = 102
*Câu hỏi đặt ra: Tổng các lập phương luôn là một bình phương?
Cần giải tỏa mối nghi ngờ trên: 13 + 23 + 33 +…….+ n3 = ?
Xét các trường hợp: n=1; n=2; n=3…
*Ví dụ: n = 5: 1 = 1 = 12
1 + 8 = 9 = 32
1 + 8 + 27 = 36 = 62
1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102
1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 = 152
Dãy số: 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15





có một qui luật: tăng 2 tăng 3 tăng 4 tăng 5

1 = 1
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
*Ta thấy qui luật trên có sự dần đều đến mức tổng quát.
Ta có Định Lý : 13 + 23 + 33 +…….+ n3 = (1 + 2 + 3 +…+ n)2

* Chứng minh :
Để chứng minh định lý có thể đơn giản bài toán.
+Xét hình chữ nhật các cạnh n và n + 1 :
Mỗi nửa hình chữ nhật có dãy bậc thang.
*Ví dụ: Hình chữ nhật cạnh 4 và 5.
Ta có: S = 4.5
Mặt khác: S = (1 + 2 + 3 + 4) x 2
*Vậy: 1 + 2 + 3 + 4 =

Như vậy:

Định lý được phát biểu lại:


(1)
*Thử kiểm tra: n = 6: 1

Định lý đúng và kết quả 2 vế là 441
*Ta có thể thử với
. Nhưng định lý (1) có còn đúng với n + 1 không?
Điều nghi ngờ đi đến:


Hay:
(2)
Kiểm nghiệm: Lấy (2) – (1):


*Như vậy công thức (2) vẫn đúng.
II.Phương pháp chứng minh bằng qui nạp:
*Bước 1: Thử với n = 1 (
).
*Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (
).
*Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
*Bước 4: Kết luận: Định lý đúng với


C. KẾT LUẬN :
Hy vọng chuyên đề giới thiệu một cách hiểu về phương pháp chứng minh bằng qui nạp .cách chứng minh “Bước 3 “ dùng hai phương trình trừ nhau mà không phải khai triển hằng đẳng thức bậc n