Tài liệu bồi dưỡng HSG về Số học

SỐ NGUYÊN, PHÉP CHIA HẾT
1. Định nghĩa.
Tập các số nguyên bao gồm các số tự nhiên và các số đối của chúng và được ký hiệu là Z.


Số nguyên lớn hơn 0 gọi số nguyên dương.
Số nguyên nhỏ hơn 0 gọi là số nguyên âm.

2. Tính chất.
2.1. Không có số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất. Số nguyên dương nhỏ nhất là 1.
2.2. Một tập con hữu hạn bất kỳ của Z luôn có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất.
2.3. Không có số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp
2.4. Nguyên lý qui nạp:
Cho A là tập hợp con của Z. Nếu k ( A và n ( A ( n + 1 ( A , (n ≥ k thì mọi số nguyên lớn hơn hay bằng k đều thuộc A.
2.5. Nếu a, b ( Z , a < b thì a + 1 ( b
2.6.


3. Phép chia hết.
3.1. Định nghĩa.
Cho a, b là hai số nguyên bất kỳ, b khác 0. Nếu tồn tại số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b hay a là bội của b (a
b) hay b là ước của a (b|a)

3.2. Định lý. (thuật toán chia)
Cho a, b là hai số nguyên bất kỳ, b khác 0. Khi đó, tồn tại duy nhất các số nguyên q, r sao cho a = bq + r với 0 ( r < |b|.

3.3. Các tính chất của phép chia hết.
3.3.1. Nếu a
b thì am
b với mọi số nguyên m.
3.3.2. Nếu a
b và b
c thì a
c
3.3.3. Nếu a
c và b
c thì ax + by
c (x,y ( Z ( ax + by được gọi là tổ hợp tuyến tính của a,b)
3.3.4. Nếu a
b thì |a| ≥ |b|
3.3.5. Nếu a
b và b
a thì |a| = |b|
3.3.6. a
b ( am
bm, (m( Z*

BÀI TẬP
1. Cho a, b, n là các số nguyên, n > 0, a ( b. Chứng minh
a/ an – bn
(a – b)
b/ (an + bn)
(a + b) với n lẻ
c/ (an – bn)
( a + b) với n chẵn
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n
a/ 33n + 3 – 26n – 27
169
b/ n2 – 3n + 5 không chia hết cho 121
3.
a/ Cho f(x) là một đa thức tùy ý với hệ số nguyên. Chứng minh rằng f(a) – f(b)
(a – b) với mọi số nguyên a, b.
b/ Chứng minh không tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thỏa p(3) = 10, p(7) = 24
4. Chứng minh rằng
với k nguyên, a lẻ.
5. Chứng minh rằng (n + 1)(n + 2) …(2n)
2n với mọi số nguyên dương n
6. Chứng minh rằng tồn tại vô số nguyên dương n thỏa mãn 2n + 1
n.
7. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thỏa x2 + y2 = z2. Chứng minh xyz
60
8. Cho x,y,z là các số nguyên thỏa (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z. Chứng minh x + y + z chia hết cho 27.
9. Chứng minh rằng nếu a2 + b2 - ab
7 thì 8a3 – 6b3
7
10. Chứng minh rằng nếu 2 + a và 35 – b chia hết cho 11 thì a + b chia hết 11.


ƯỚC SỐ CHUNG LỚN NHẤT, BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT
1.Ước chung lớn nhất.
1.1. Định nghĩa.
Số nguyên dương d được gọi là ước chung lớn nhất của các số nguyên a1, a2, …, an nếu d là ước chung của a1, a2, …, an và nếu e là một ước chung khác của chúng thì e là ước của d.
Ký hiệu: d = UCLN(a1,a2,…,an) hay d = (a1,a2,…,an)

Ví dụ : (-20, 30, 50) = 10, (15, 20, 18) =