Số chính phương

Tôn Nữ Bích Vân





Với kiến thức lớp 6, ta chứng minh được một số tính chất sau:

Thật vậy:
Tính chất 2: Giả sử N = k2 và k = ax by cz...(a, b, c... là số nguyên tố) thì
N = (ax by cz...)2 = a2x b2y c2z...
Suy ra:
Số chính phương a ( 2 ( a ( 4
Số chính phương a ( 3 ( a ( 9
Số chính phương a ( 5 ( a ( 25 ; ...
Tính chất 3: N = axbycz... thì số ước số của nó bằng (x+1)(y+1)(z+1)...
- Nếu N là số chính phương thì x, y, z... chẵn nên x+1, y+1, z+1... lẻ, do đó số ước số của N là số lẻ.
- Nếu số ước số của N là số lẻ thì (x+1) (y+1) (z+1)... lẻ nên các thừa số x+1, y+1, z+1... đều lẻ, suy ra x, y, z,... chẵn.
Đặt x = 2m, y = 2n, z = 2p (m, n, p ( N) thì N = a2mb2nc2p = (am bn cp)2 nên N là số chính phương.





Bài tập 1: Cho 4 chữ số 0, 2, 3, 4. Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm cả
4 chữ số trên

Giải:
Gọi số chính phương cần tìm là n2
Số chính phương không tận cùng bằng 2, bằng 3.
Nếu số chính phương tận cùng bằng 0 thì phải tận cùng bằng một số chẵn chữ số 0.
Do đó : n2 lập bởi 4 chữ số 0, 2, 3, 4 phải tận cùng bằng 4, suy ra: n2

Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4, do đó n2 tận cùng bằng 04 hoặc 24.
Xét các số 2304; 3204; 3024 ta có : 2304 = 482
Vậy: Số phải tìm là 2304.


Bài tập 2: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng khi nhân nó với 135 ta được
một số chính phương

Giải:
Gọi số phải tìm là A, ta có 135A = a2 (a ( N) hay 33.5.A = a2. Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên A = 3 . 5 . k2 (k ( N)
Với k = 1 thì A = 15
k = 2 thì A = 60
k ( 3 thì A ( 135, có nhiều hơn 2 chữ số nên loại.
Vậy: Số phải tìm là 15 hoặc 60


Bài tập 3: Các số sau có chính phương không ?
a) A = 3 + 32 + 33 + ... + 32008
b) M = 112001 + 112002 + 112003 + 112004 + 112005 + 112006 + 112007



Giải:
a) Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9.
A chia hết cho 3 nhưng chia cho 9 dư 3
(vì A = 3 + 32 (1 + 3+ 32 + ... + 32006) )
Do đó A không là số chính phương.
b) Ta
có tận cùng là 1 nên mỗi số hạng của tổng đều tận cùng bằng 1
Do M =
+
+
+
+
+
+
có tận cùng bằng 7 nên không là số chính phương.


Bài tập 4: Tìm số nguyên tố
(a > b > 0) sao cho
-
là số chính phương

Giải:

-
= (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9 (a - b) = 32 (a - b)
Do
-
là số chính phương nên a-b là số chính phương.
Mặt khác 1 ( a - b ( 8 nên a - b ( {1; 4}
- Với a - b = 1 thì
( {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98}
Loại các hợp số 21 ( 3, 32 ( 2; 54 ( 2; 65 ( 5; 76 ( 2; 87 ( 3; 98 ( 2 còn 43 là số nguyên tố.
- Với a - b = 4 thì
( {51; 62; 73; 84; 95}
Loại các hợp số 51 ( 3; 62 ( 2; 84 ( 2; 95 ( 5, còn 73 là số nguyên tố.
Vậy
= 43 hoặc 73. Khi đó
-
= 43 - 34 = 9 = 32
hoặc
-
= 73 - 37 = 36 =