SKKN-Tam giac va Tu dien(hay va kho)

Nguyễn Huy Khôi – Thpt đô lương 2

Một số tính chất tương tự giữa tam giác và tứ diện.
- Các bạn trẻ yêu toán thân mến!
Các bạn đã làm quen với một số tính chất rất thú vị tương tự giữa tam giác vuông và tứ diện vuông (khối tứ diện có 3 mặt vuông). Chẳng hạn:
- Trong một tam giác vuông OAB ((AOB = 900) ta có hệ thức:
AB2 = OA2 +OB2 (Định lý Pithagore).
- Trong tứ diện vuông OABC (OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một) ta có hệ thức tương tự:
S2ABC = S2OAB+ S2OAC+ S2OBC,…,
- Trong bài báo này chúng tôi xin được gới thiệu một số tính chất khá thú vị tương tự giữa tam giác và tứ diện.
ở đây, chúng tôi giới thiệu các tính chất tương tự nói trên thông qua các bài toán sau đây:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC (BC = a1, CA = a2, AB = a3). M là một điểm nằm trong tam giác đó. Gọi Ra, Rb, Rc lần lượt là các khoảng cách từ M đến các dỉnh A, B, C; còn da, db, dc lần lượt là khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh bất đẳng thức kép sau đây:
dadbdc( (
.
(Trong đó S1 = SMBC, S2 = SMCA, S3 = SMAB).
Lời giải: Dựng AH ( BC, khi đó ta có bất đẳng thức sau:
Ra + da ( ha (ha = AH).
( a1Ra ( a1ha - a1da ( a1Ra(2S – 2S1 (1).

(2S – 2S2) ( 2

(2S – 2S3) ( 2

Vậy (2S – 2S1)(2S – 2S2) (2S – 2S3) ( 8a1a2a3dadbdc (5).
Từ (4), (5) ta suy ra bất đẳng thức kép cần chứng minh:
dadbdc(
Bài toán (1) ta có thể mở rộng ra bài toán trong không gian.
Bài toán 2: Cho tứ diện bất kỳ A1A2A3A4. M là một điểm bất kỳ nằm
trong tứ diện đó. Gọi Ra, Rb, Rc,Rd lần lượt là các khoảng cách từ M đến các đỉnh A1, A2, A3, A4; còn da, db, dc,dd lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt đối diện với các đỉnh Ai (
); V; Vi (
); Si (
) lần lượt là thể tích các khối tứ diện A1A2A3A4; MA2A3A4; MA1A3A4; MA1A2AMA1A2A3; diện tích các mặt của các khối tứ diện A1A2A3A4. Chứng minh bất đẳng thức kép sau:
dadbdcdd( (6)
Với cách giải hoàn toàn tương tự như bài toán phẳng 1, các bạn sẽ chứng minh được bất đẳng thức kép dạng (6). Mời các bạn chứng minh nó.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC (BC=a, CA =b, BA = c). Gọi la là độ dài đường phân giác trong của tam giác đó kẻ từ đỉnh A . Chứng minh rằng:
a)
;
b) la<
;
Lời giải: a) Lời giải câu a) khá đơn giản xin được nhường lời chứng minh cho
các bạn.
b) Từ câu a) ta suy ra
> la (7)
Lại có
(
(

(8).
Từ (7), (8) ta suy ra la <
(Đpcm).
Từ bài toán 3 ta đi đến bài toán mở rộng sau:
Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AB của
tứ diện đó cắt cạnh CD