Skkn sử dụng lượng giác chứng minh một bất đẳng thức

I. Đặt vấn đề

Trong chương trình toán ở trường phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề có thể nói là phức tạp nhất, nó rèn cho người làm toán trí thông minh, sự sáng tạo, ngoài ra còn có cả sự khéo léo, mỗi kết quả của nó là một công cụ sắc bén của toán học. Nhưng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn giản chút nào, nhất là đối với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi chọn cho mình một công cụ để chứng minh hiệu quả nhất. Đã có rất nhiều tài liệu đưa ra một số phương pháp rất tốt để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn:
- Phương pháp sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
- Phương pháp sử dụng tam thức bậc 2.
- Phương pháp sử dụng những bất đẳng thức kinh điển.
- Phương pháp sử dụng phản chứng.
- Phương pháp sử dụng quy nạp.
- Phương pháp sử dụng đạo hàm.
- Phương pháp sử dụng hình học.
- Phương pháp sử dụng hàm lồi.
Mặc dù vậy song vẫn là chưa đủ bởi sáng tạo của mỗi người làm toán là vô hạn. Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số " nhằm trang bị thêm cho học sinh một số công cụ hữu hiệu để chứng minh các bất đẳng thức đại số. Phương pháp lượng giác hoá đã được một số sách của các tác giả đề cập như giáo sư Phan Đức Chính, giáo sư Phan Huy Khải, phó tiến sĩ Vũ Thế Hựu... viết. Nhưng do cấu trúc mục tiêu của các cuốn sách đó mà các tác giả đều không đi sâu vào phương pháp này hay nói cách khác là chưa thật cụ thể hoá, hệ thống hoá nó.
II. giải quyết vấn đề


1. Các kiến thức cần nắm
1.1. Các hệ thức cơ bản
+ + 1 + tg2( =
+ tg( . cotg( = 1 (( ( + 1 + cotg2( =
1.2. Công thức cộng góc
+ cos(( ( () = cos( cos( sin( sin(
+ sin(( ( () = sin( cos( ( cos( sin(
+ tg (( ( () =
+ cotg(( ( () =
1.3. Công thức nhân
+ sin2( = 2 sin( cos(
+ cos2( = cos2( - sin2( = 2cos2( - 1 = 1 - 2sin2(
+ tg2( =
+ cotg2( =
+ sin3( = 3sin( - 4sin3(
+ cos3( = 4cos3( - 3cos(
+ tg3( =
thức hạ bậc
+ cos2( = + sin2( =
+ tg2( =
1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cos( + cos( = 2cos
+ cos( - cos( = - 2sin
+ sin( + sin( = 2sin
+ sin( - sin( = = - 2cos
+ tg( ( tg( =
1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
+ cos(.cos( =
+ sin(.sin( =
+ sin(.cos( =
2. Nội dung của sáng kiến
Qua một quá trình nghiên cứu tham khảo bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp lượng giác ở nhiều sách đều đưa ra các phương pháp chứng minh bất