SKKN BDT Cauchy va Bunhia

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
--------------










Tên đề tài:

"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức BUNHIACôPxKI để giải phương trình
và hệ phương trình không mẫu mực"










Tên đề tài
"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức BUNHIACôPxKI để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"


I- Đặt vấn đề
Chương trình toán THCS, nhất là chương trình Đại số lớp 8 và 9 khi giải một số phương trình và hệ phương trình không mẫu mực học sinh gặp nhiều khó khăn vì các em chưa vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh nhạy công cụ để giải phương trình và hệ phương trình loại không mẫu mực. Một trong những công cụ để giải quyết các phương trình và hệ phương trình không mẫu mực là vận dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki. Vì vậy cần phải đưa ra một số bài toán cụ thể áp dụng kiến thức đó để trên cơ sở đó các em có thể vận dụng linh hoạt giải các bài toán khác tương tự.

II- Các số liệu điều tra khảo sát
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, cũng như qua bản thân thấy được từ các kỳ thi học sinh giỏi các cấp tôi đã cố gắng tìm tòi nghiên cứu đưa ra một số bài toán phù hợp với trình độ học sinh THCS để cho các em tiếp cận làm quen với phương pháp giải phương trình và hệ phương trình dựa vào bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki.
Một số liệu cụ thể để chứng minh cho việc khi áp dụng đề tài này:
- Khi chưa học chuyên đề, số học sinh vận dụng được đề tài là 10%.
- Khi đã học chuyên đề, số học sinh vận dụng được đề tài là 55%.


III- Nội dung đề tài
1. Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki.
* Bất đẳng thức Cauchy.
Cho n số không âm: a1, a2, a3, ... , an-1, an
Ta luôn có:
Dấu bằng xẩy ra khi a1 = a2 = ... = an.
Bất đẳng thức Cauchy còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân.
* Bất đẳng thứcBunhiacôpxki
Cho n số: a1, a2, a3, ... , an-1, an
và: b1, b2, b3, ... , bn-1, bn
Ta luôn có:

Dấu bảng xẩy ra khi:
Bất đẳng thức trên còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz, hay bất đẳng thức Cauchy- Schwarz.
2. Nội dung:
* Vận dụng bất đẳng thức trên vào giải các phương trình và hệ phương trình.
Bài toán 1: Giải phương trình

ĐK: 2 ( x ( 4
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
(1 + 1)(x - 2 + 4 - x) = 4
( ( 2 (1) vì 0
x2 - 6x+ 11 = x2 - 6x + 9 + 2 = (x - 3)2 + 2 ( 2 (2)
Từ (1) và (2) dấu "=" xẩy ra khi

Vậy phương trình có nghiệm x = 3
Bài toán 2: Giải phương trình

x2 + 2x ( 0 x ( -2 hoặc x ( 0