Sang kien kinh nghiem Toan THPT

Phần 1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đối với học sinh THPT, việc hiểu một khái niệm là điều cần thiết. Song để học sinh hiểu sâu và có hứng thú cần cho học sinh thấy được ý nghĩa và tác dụng của khái niệm, đặc biệt cần vận dụng khái niệm đó vào giải một số bài toán cụ thể.
Trong chương trình toán học lớp 12, khái niệm tiếp tuyến; tính lồi, lõm của đồ thị hàm số khá trừu tượng. Các bài tập liên quan đến chúng tuy nhiều (thường là viết phương trình tiếp tuyến, xét tính lồi lõm của đồ thị hàm số) nhưng ít có bài tập ứng dụng hai khái niệm này.
Chứng minh bất đẳng thức là một bài toán hay và khó và thường gặp trong các kì thi vào đại học, cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi. Đứng trước một bất đẳng thức, học sinh thường lúng túng khi lựa chọn phương pháp. Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đưa ra một kĩ thuật đơn giản (đó là dùng tiếp tuyến kết hợp với tính lồi, lõm của đồ thị hàm số để chứng minh bất đẳng thức) nhưng có hiệu quả khi giải quyết một lớp bài toán về chứng minh bất đẳng thức (BĐT) hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Điều quan trọng là học sinh có thể được định hướng cách giải ngay từ đầu.
Ý tưởng của phương pháp này là: “Bằng cách xét vị trí tương đối của tiếp tuyến và đồ thị hàm số ta suy ra một BĐT”. Để làm được điều này ta có thể dựa vào tính lồi, lõm của đồ thị hàm số hoặc tính toán trực tiếp. Theo phương pháp này ta có thể chứng một cách đơn giản BĐT Jenxen. Hơn thế, nó còn giải quyết được những bài toán mà BĐT Jenxen không xử lí được (như bài 5, bài 6, bài 7). Như vậy phương pháp này mạnh hơn hẳn BĐT Jenxen.
Xuất phát từ những lí do nêu trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm này với hy vọng cung cấp cho học sinh một phương pháp có hiệu lực để chứng minh BĐT. Đề tài cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy ôn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, vì điều kiện thời gian có hạn và cách trình bày có thể chưa thật tốt nên chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các bạn độc giả đọc và góp ý cho tôi.
Phần 2 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

I. Cơ sở lí thuyết
1. Khái niệm về tính lồi, lõm của đồ thị hàm số
Cho hàm số
có đạo hàm trên khoảng
.
Đồ thị của hàm số được gọi là lồi trên khoảng
nếu tại mọi điểm
tiếp tuyến của đồ thị hàm số nằm phía trên của đồ thị hàm số.
Đồ thị của hàm số được gọi là lõm trên khoảng
nếu tại mọi điểm
tiếp tuyến của đồ thị hàm số nằm phía dưới của đồ thị hàm số.

2. Dấu hiệu lồi, lõm của đồ thị hàm số
Cho hàm số
có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng
.
Nếu
với mọi
thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng
.
Nếu
với mọi
thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng
.

3. Nhận xét
Cho các hàm số
và
xác định trên khoảng
và có đồ thị lần lượt là (C) và (G). Khi đó
(C) nằm trên (G)

Nếu đồ thị hàm số
lồi trên khoảng
và
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
thì

(1)
Đối với đồ thị hàm số lõm ta có bất đẳng thức ngược lại.

Bất đẳng thức (1) cho phép ta đánh giá biểu thức
thông qua biểu thức bậc nhất. Hơn nữa, ta có thể chọn c sao cho dấu đẳng thức xảy ra theo đúng yêu cầu của bài toán.









II. Bài tập áp dụng
Bài 1 (BĐT Cô - si). Cho a1, a2, …, an là các số không âm. Chứng minh rằng


Chứng minh. Nếu có một số ai = 0 (i = 1, 2, …, n) thì bđt là hiển nhiên. Bây giờ ta xét trường hợp ai > 0, (i ( {1, 2, …, n}. Chia hai vế cho
ta được


Đặt
thì xi > 0 thoả mãn
và bđt trở thành
hay

Xét hàm số
. Ta có
suy ra đồ thị hàm số lồi trên khoảng
.
Tiếp tuyến của đths tại điểm
có phương trình là
suy ra

(1)
Áp dụng bđt (1) cho x1, x2, …, xn và cộng vế lại ta được


Kết hợp với
ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức