Sáng kiến kinh nghiệm: Một số chủ đề tự chọn Toán 9

LÔØI NOÙI ÑAÀU
Tõ nh÷ng n¨m ®Çu cña thËp kØ 90, vÊn ®Ò ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc trong nhµ tr­êng phæ th«ng ë n­íc ta ®­îc d­ luËn x· héi vµ c¸c c¸n bé gi¸o viªn trong ngµnh gi¸o dôc quan t©m rÊt nhiÒu .
Vµi n¨m gÇn ®©y , viÖc ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc theo tinh thÇn "lÊy häc sinh lµm trung t©m" ®· ®­îc thùc hiÖn réng r·i kh¾p c¸c tØnh, thµnh trong tÊt c¶ c¸c cÊp häc phæ th«ng c¶ n­íc . H¬n n÷a, viÖc ®æi míi ch­¬ng tr×nh-SGK hiÖn nay lµ mét cuéc "c¸ch m¹ng" ,®ßi hái gi¸o viªn ph¶i cã sù ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc .
Mét trong nh÷ng ®Þnh h­íng quan träng cña viÖc ®æi míi hiÖn nay lµ : T¨ng c­êng h¬n n÷a tÝnh "ph©n hãa" trong häc sinh . ViÖc d¹y häc m«n häc tù chän (tr­íc ®©y)vµ c¸c chñ ®Ò tù chän (hiÖn nay)lµ mét trong nh÷ng biÖn ph¸p h÷u hiÖu thÓ hiÖn râ ®Þnh h­íng nµy .
B¾t ®Çu tµ n¨m häc 2002-2003 Bé GD&§T ®· h­íng dÉn thùc hiÖn DHTC cho mét sè m«n häc thuéc khèi líp 8 vµ 9 (2 tiÕt /tuÇn). N¨m häc 2006-2007 viÖc d¹y häc c¸c chñ ®Ò tù chän ®· ®­îc triÓn khai ®¹i trµ cho tÊt c¶ c¸c khèi líp tõ 6 ®Õn 9. Nh­ vËy ,viÖc d¹y häc tù chän ®· mang tÝnh ph¸p quy.
Th«ng qua c¸c tiÕt d¹y häc C§TC , gi¸o viªn sÏ cã thªm ®iÒu kiÖn ®Ó ®æi míi ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y, tÝch lòy , trau dåi thªm chuyªn m«n nghiÖp vô ...MÆt kh¸c,còng th«ng qua c¸c tiÕt d¹y mµ ph¸t hiÖn ra nh÷ng häc sinh cã n¨ng khiÕu ®ång thêi gióp häc sinh kh¾c phôc ®­îc nh÷ng thiÕu sãt cña m×nh trong qu¸ tr×nh häc tãan....Häc sinh cã ®iÒu kiÖn cñng cè kiÕn thøc , ph¸t huy kh¶ n¨ng ,n¨ng khiÕu cña b¶n th©n vÒ m«n häc .
Trªn c¬ së ®Æc ®iÓm ch­¬ng tr×nh tãan THCS , qua thùc tiÔn gi¶ng d¹y mét sè n¨m .B¶n th©n t«i ®· ®óc kÕt ®­îc mét sè kinh nghiÖm khi d¹y vµ «n tËp cho häc sinh líp 9 .Víi môc ®Ých h×nh thµnh trong nhµ tr­êng mét sè vÊn ®Ò vµ c¸c chñ ®Ò tù chän & ®Ó trao ®æi cïng c¸c ®ång nghiÖp . T«i tiÕn hµnh tæng hîp vµ biªn so¹n mét sè chñ ®Ò Tãan 9 gåm :
*Chñ ®Ò 1: C¨n thøc bËc hai.
*Chñ ®Ò 2: HÖ ph­¬ng tr×nh .
*Chñ ®Ò 3: Ph­¬ng tr×nh bËc hai.
*Chñ ®Ò 4: Hµm sè vµ ®å thÞ .
*Chñ ®Ò 5: TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn.
*Chñ ®Ò 6: Tø gi¸c néi tiÕp .
Mçi néi dung kiÕn thøc ®Ò cã c¸c vÝ dô vµ bµi tËp c¬ b¶n b¸m s¸t ch­¬ng tr×nh vµ chia thµnh d¹ng phï hîp víi nhiÒu ®èi t­îng häc sinh(cã nhiÒu néi dung n©ng cao) .c¸c bµi tËp vµ vÝ dô chñ yÕu ®­îc sö dông trong SGK thuéc ch­¬ng tr×nh cò(c¸ nh©n ®· tõng ¸p dông) .
MÆc dï ®· cã nhiÒu cè g¾ng trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn ,song cã lÏ kh«ng
thÓ tr¸nh khái nh÷ng sai sãt . T«i rÊt mong nhËn ®­îc sù ñng hé ,gãp ý cña c¸c
thÇy c« vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó sím cã thÓ hoµn thiÖn h¬n



















CH Ủ Đ Ề 1:

CĂN BẬC HAI: CÁC PHÉP TÍNH & BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CHỨA CBH

A.TÓM TẮT KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN






* Để phân tích một đa thức thành nhân tử ta có thể sử dụng riêng rẽ hoặc phối hợp các phương pháp: Đặt nhân tử chung; Áp dụng các hằng đẳng thức ;Nhóm, tách,them bớt cùng một hạnh tử; Sử dụng nghiệm của đa thức hoặc dùng sơ đồ Hoocne,...
1. Phương pháp dặt nhân tử chung :
Ví dụ 1: 14a3b - 7a2b2 + 35ab3 = 7ab.2a2 - 7ab.ab+ 7ab.5b2 = 7ab(2a2 - ab +5b2)
Ví dụ 2: x3 + x2 +x+1 = x2(x+1)+x+1 = (x+1)((x2+1)

2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức :
Ví dụ 1: a2 -1 +b2+2ab = a2+b2+2ab -1 = (a +b)2-1 = (a +b-1)(a +b+1)
Ví dụ 2: (x+y)3 - (x-y)3 = [ (x+y) - (x-y)][(x+y)2 + (x+y)(x-y) + (x-y)2]
= 2y(x2+y2+2xy +x2 - y2 + x2+y2-2xy )
= 2y(3x2+y2)

3. Phương pháp nhóm các số hạng :
Ví dụ 1: phân tích thành nhân tử đa thức : x2+y+xy+x
C1: Ta có : x2+y+xy+x = (x2+x) + (y+xy) = x(x+1) +y (x+1) =(x+1) (x+y)
C2: Ta có : x2+y+xy+x = (x2 +xy)+(y+x) = x(x+y) +(y +x)=(x+1) (x+y)
Ví dụ 2: ax2 + ay2 -bx2 -by2 +b - a = (ax2 -bx2) +(ay2 - by2) +b - a
= x2(a -b) +y2(a - b) -(a - b) =(a - b)(x2+y2 -1)

4. Phương pháp tách hạng tử:
Ví dụ : x2 - 6x + 5
C1: x2 - 6x + 5 = x2 - x - 5x + 5 = x(x-1)- 5(x-1) =(x-1)(x -5)
C2: x2 - 6x + 5 = x2 - 1 - 6x + 6 = (x -1)(x +1)- 6(x-1) =(x-1)(x +1-6) =(x-1)(x -5)
C3: x2 - 6x + 5 = 6x2 - 6x - 5x2 + 5 = 6x(x-1)- 5(x2 -1) = 6x(x-1)- 5(x -1)(x +1)
= (x-1)[6x - 5(x +1)] = (x-1)(x -5)
C4: x2 - 6x + 5 = x2 - 6x +9 - 4 = (x-3)2 - 22 = [(x-3)-2][(x-3)+2] = (x-1)(x -5)

* Còn một số cách tách khác nữa , xin mời bạn đọc .

5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử :
Ví dụ 1: x5 + x + 1 = x5 + x2 - x2 + x + 1 = x2(x3 -1) + (x2 + x + 1)
= x2(x - 1)(x2 + x + 1) +(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x2(x - 1)+1]
= (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1)


Ví dụ 2: x4 + 64 = (x2)2 + 82 = (x2)2 +2.x2.8 + 82 - 16x2 = (x2 + 8)2 - (4x)2
= (x2 - 4x + 8 )(x2 + 4x +8)

6. Phương pháp dùng nghiệm của đa thức :
Giả sử đa thức f(x) có một nghiệm x= a thì (x - a) là một nhân tử và ta có :
f(x) =(x - a).g(x) . Trong đó: g(x) là thương của phép chia đa thức f(x) cho (x - a)

Ví dụ :Đa thức x3 + 2x + 3 có một nghiệm là -1 nên một nhân tử của tích là :
x- (-1) = x + 1. Ta có :(x3 + 2x + 3) : (x + 1) = x2 -x + 3
Vậy :x3 + 2x + 3 = (x + 1)(x2 -x + 3)

7. PP sử duïng sô ñoà hooùcne :
Cho ña thöùc: f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +…..+ a1x + a0 vaø nhò thöùc x -
. Ta luoân vieát ñöôïc : f(x) = P(x) (x -
) + r
Baèng caùch söû duïng sô ñoà hooùcne:

an
an-1
an-2
……..
a1
a0



bn = an
bn-1 =
bn + an-1
bn-2 =
bn-1 + an-2
……..
b1 =
b2 + a1
b0 =
b1 + a0

Vôùi P(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + bn-2xn-3 + …..+ b2x + b1 vaø r = a0
Roõ raøng , neáu r=0 , khi ñoù f(x) = P(x) (x -
)
Vieäc söû duïng sô ñoà hooùcne thöôøng aùp duïng ñoái vôùi caùc ña thöùc baäc cao (töø baäc 3 trôû leân). Vaán ñeà ñaët ra laø : Ta phaûi ñoùan ñöôïc nghieäm cuûa f(x) . Vôùi chöông trình THCS ta thöôøng ñoùan nghieäm theo caùc caùch sau :
Neáu ña thöùc f(x) coù toång caùc heä soá baèng 0 thì 1 laø moät nghieäm cuûa f(x) . Do ñoù f(x) coù theå vieát : f(x) = (x - 1)P(x).
Neáu ña thöùc f(x) coù toång caùc heä soá cuûa caùc soá haïng baäc chaün baèng toång caùc heä soá cuûa caùc soá haïng baäc leû thì -1 laø moät nghieäm . Do ñoù f(x) coù theå vieát : f(x) = (x + 1)P(x).
Tuy nhieân trong moät soá tröôøng hôïp cuï theå thì caû hai caùch ñoùan nghieäm nhö treân laø khoâng khaû thi . Khi ñoù , ta caàn phaûi söû duïng ñeán caùch thöù ba : Loaïi tröø caùc öôùc cuûa heä soá töï do khoâng laø nhieäm cuûa f(x) , baèng caùch : Neáu a laø nghieäm nguyeân cuûa f(x) vaø f(1) , f(-1) khaùc 0 thì
va
ñeàu laø soá nguyeân .
Ví duï :
Phaân tích caùc ña thöùc sau thaønh nhaân töû .
A(x) = x3 – 5x2 +8x – 4
B(X) = x3 – 5x2 +3x +9
C(X) = 4x3 – 13x2 +9x -18
Giaûi :
Toång caùc heä soá cuûa ña thöùc : 1 – 5 + 8 – 4 = 0 => x = 1 laø moät nghieäm cuûa A(X) . Ta coù sô ñoà sau :


1
-5
8
-4


=1
1
-4
4
0






Caùch thöïc hieän :
+ Vieát caùc heä soá cuûa A(x) (caùc heâï soá cuûa ña thöùc ñöôïc saép xeáp theo luõy thöøa giaûm daàn cuûa bieán ). Ta ñaët caùc heä soá cuûa A(x) theo thöù töï treân vaø caùc coät ôû doøng treân ( taø coät thöù hai ) .
+ ÔÛ doøng thöù hai , coät ñaàu tieân laø moät nghieäm , ba coät tieáp theo laø caùc heä soá töông öùng cuûa ña thöùc thöông , coät cuoái cuøng cho ta soá dö .
+ Keå töø coät thöù ba (doøng thöù hai) , moãi soá ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch : laáy
nhaân vôùi soá cuøng doøng lieàn tröôùc , coäng vôùi soá cuøng coät ôû doøng treân .
Sô ñoà :


Ta coù theå vieát : A(x) = (x – 1) (x2 – 4x + 4) = (x – 1) (x – 2)2

Toång caùc soá heä soá cuûa soá haïng baäc chaün baèng toång caùc heä soá cuûa caùc soá haïng baäc leû : 9 +(-5) = 1 + 3 = 4 => -1 laø moät nghieäm cuûa B(X) . Töômg töông töï , ta coù sô ñoà Hooùcne :

1
-5
3
9

-1
1
-6
9
0

Töø sô ñoà , ta coù : B(X) = x3 – 5x2 +3x +9
= (x + 1) (x2 – 6x + 9)
= (x + 1) (x – 3)2
c)Vôùi caùch laøm nhö treân , ta thaáy :
Toång caùc heä soá cuûa ña thöùc : 4 -13 + 9 – 18 = -18 ( 0
Toång caùc soá heä soá cuûa soá haïng baäc chaün cuûa ña thöùc C(x) baèng: - 13 – 18
Toång caùc soá heä soá cuûa soá haïng baäc leû cuûa ña thöùc C(x) baèng: 4 + 9
Roõ raøng: -13 – 18 ( 4 +9
Vaäy vôùi hai caùch ñoaùn nghieäm thoâng thöôøng nhö treân khoâng khaû thi ñoái vôùi ña thöùc naøy. Ta söû duïng phöông phaùp loaïi tröø nghieäm nhö sau:
Xeùt: C(1) = 4 – 13 + 9 – 18 = -18 ( 0
C(-1) = -4 – 13 – 9 – 18 = -44 ( 0
Roõ raøng 1 vaø -1 khoâng laø nghieäm cuûa C(x). Ta thaáy:

;
;
;
;
;
;
khoâng nguyeân neân -3; 6; -6; 9; -9; 18; -18 khoâng laø nghieäm cuûa C(x).Vaø
khoâng nguyeân neân 2 khoâng laø nghieäm cuûa C(x). Chæ coøn -2 vaø 3. Kieåm tra thaáy 3 laø nghieäm cuûa C(x).
Ta coù sô ñoà hooùcne:

4
-13
9
-18

3
4
-1
6
0


Theo sô ñoà Hooùcne ta coù:
C(x) = 4x3 – 13x2 + 9x – 18
= (x – 3) (4x2 – x + 6)
Nhaän xeùt: Ñoái vôùi caùc ña thöùc treân, neáu khoâng söû duïng sô ñoà Hooùcne vaãn phaân tích ñöôïc thaønh nhaân töû baèng caùch söû duïng phöông phaùp taùch nhoùm haïng töû. Chaúng haïn:
A(x) = x3 – 5x2 +8x – 4
= x3 – 4x2 +4x – x2 + 4x – 4
= ( x3 – 4x2 +4x ) – (x2 – 4x + 4)
= x (x2 – 4x + 4 ) – ( x – 2)2
= x( x – 2)2 – ( x – 2)2
= (x – 1) (x – 2)2

Bài tập vận dụng :

1. Tính nhanh :
a) 231,4 .14 - 140.13,14
b) (175 - 174):42
2. CMR : n3 + 3n2 +2n chia hết cho 3 ,
n(Z

3. Giải các phương trình :
a. (2x -3)2 = (x + 5)2
b. x4 – 2x3 +10x2 - 20x = 0
c. x2(x-1) – 4x2+8x -4

4. Tính giá trị của biểu thức
A = 2x2 + 2y2-x2z + z - y2z - 2 ,Với x = y =1 ,z = -1






1. Nhắc lại một số tính chất của lũy thừa bậc hai :

+ a2 ( 0 ,(a
+ a2 >b2 ((a(>(b(: Nếu a,b>0 Thì a2>b2 ( a>b

Nếu a,b<0 thì a2>b2 ( a+ a2 = b2 ( (a(=(b(( a =( b

* Một số tính chất của bất đẳng thức :

Với 3 số a,b,c .Ta có :
* Nếu a ( b Thì : a + c ( b +c
* Nếu a ( b Thì : a + c ( b +c
* Nếu a ( b Thì : ac ( bc (c ( 0)
* Nếu a ( b Thì : ac ( bc (c < 0)
* a ( b và b ( c thì