Sáng kiến kinh nghiệm bậc 4, nghệ an

MỞ ĐẦU
Sự xuất hiện của trường số phức C đã khép lại quá trình nghiên cứu phương trình Đại số. Người ta đã chứng minh được tất cả các phương trình dạng đa thức bậc n có đủ n nghiệm trên C, điều này cũng có nghĩa là tất cả các đa thức bậc n đều phân tích được thành tích của n nhân tử bậc nhất. Sự ra đời của định lí cơ bản của Đại số này đã trả lời được một phần câu hỏi: với những giá trị nào của n thì phương trình Đại số dạng đa thức bậc n có thể giải được bằng căn thức. Vấn đề này đã được các nhà Toán học Gauss và Abel giải quyết một cách trọn vẹn thông qua lí thuyết trường và lí thuyết Galois, ở đó người ta đã chứng minh được tất cả các phương trình đa thức bậc lớn hơn 4 đều không giải được bằng căn thức. Như vậy những phương trình đa thức bậc lớn hơn 4 đều không có quy trình chung để giải, tuy nhiên nhờ có định lí về sự phân rã, người ta có thể biểu diễn được mối liên hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức bất kì. Một trong những nhà Toán học thành công nhất trong quá trình biểu diễn mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức là Viét. Viét đã nêu được các mối liên hệ mang tính đối xứng giữa các nghiệm của phương trình.
Mặc dù các câu hỏi lớn về phương trình Đại số dạng đa thức đã được trả lời, tuy nhiên trong phạm vi Toán học phổ thông thì các bài toán về đa thức và nghiệm của đa thức vẫn luôn có tính thời sự. Các bài toán về đa thức và nghiệm của đa thức luôn chiếm một vị trí xứng đáng trong các bài thi học sinh giỏi các cấp và gây ra nhiều khó khăn cho học sinh.
Trong đề tài này chúng tôi quan tâm đến vấn đề: Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học. Ở đây chúng tôi không có ý định xây dựng lại các bài toán tìm điều kiện để phương trình đa thức bậc n có nghiệm thoả mãn một tính chất nào đó. Nội dung của đề tài gồm có hai phần. Phần thứ nhất là cho một phương trình đa thức bậc n có nghiệm thoả mãn một tính chất nào đó, chúng tôi xây dựng các bất đẳng thức về các hệ số của phương trình. Phần thứ hai chúng tôi ứng dụng định lí Viét vào Số học, kết quả thu được là chúng tôi xây dựng được một lớp các bài toán phương trình nghiệm nguyên dạng bậc hai, và các bài toán về lí thuyết chia trên tập hợp các số nguyên.
Đề tài được hoàn thành tại trường THPT chuyên Phan Bội Châu. Trong quá trình thực hiện đề tài chúng tôi nhận được nhiều sự chỉ bảo của các thầy cô giáo đi trước về bố cục, nội dung. Nhân đây cho phép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán- Tin trường THPT chuyên Phan Bội châu.
Cuối cùng, do nhiều nguyên nhân, đề tài hoàn thành không tránh khỏi được những sai sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo và các độc giả để ngày càng hoàn thiện hơn trong quá trình nghiên cứu khoa học và viết các đề tài.
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình dạy học ở bậc phổ thông, việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển tư duy cho học sinh là hai nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên.Vì lí do thời lượng chương trình và đáp ứng một cách đại trà về kiến thức cho học sinh nên chương trình sách giáo khoa phổ thông chỉ mới đáp ứng được một phần kiến thức. Chính điều này đã làm hạn chế sự phát triển tư duy của những em học sinh khá và giỏi. Vì vậy trong quá trình giảng dạy chúng tôi luôn quan tâm đến hai vấn đề là đáp ứng kiến thức đại trà và phát triển tư duy cho học sinh khá giỏi. Thông thường các em học sinh chỉ mới có khả năng giải quyết trực tiếp các bài toán mà không có khả năng nhìn nhận bài toán đó từ những góc độ khác nhau, từ đó dẫn đến một hiện tượng thường thấy trong nghiên cứu khoa học là: “chỉ thấy cây, không thấy rừng”. Học sinh chỉ có khả năng giải quyết các vấn đề một cách rời rạc mà không có khả năng xâu chuỗi chúng lại với nhau thành một mảng kiến thức lớn. Chính vì thế việc rèn luyện và phát triển các tư duy tương tự hoá và tổng quát hoá là hết sức cần thiết đối với học sinh phổ thông. Việc làm này giúp các em tích luỹ được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận và phát hiện vấn đề nhanh, giải quyết vấn đề có tính lôgic và hệ thống cao.
Có nhiều hướng khác nhau để rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh. Trong đề tài này chúng tôi tập trung phát triển tư duy cho học sinh thông