Rèn luyện giải bài tập BĐT

Bất Đẳng Thức
Trong toán học, một bất đẳng thức  là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. (Xem thêm: đẳng thức)
Ký hiệu
có nghĩa là a nhỏ hơn b và
Ký hiệu
có nghĩa là a lớn hơn b.
Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có

có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và

có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b.
Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng khác.
Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều.
Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.
Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm.
Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là
Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức.
Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương trình.
Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT
1.Biến đổi tương đương: khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức...
Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện
, chứng tỏ rằng :

Giải:



, bất đẳng thức này đúng do giả thiết

Đẳng thức xảy ra

2.Đưa về hàm số: khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục
Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn :
và
.
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :


Giải:
Từ g iả thiết
. Ta có :


Đặt
với
; có


P là hàm nghịch biến trong đoạn


( đạt khi
hoặc
).

( đạt khi
).

3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT, tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán
Ví dụ 1:
Cho
là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:
Giải:
Do giả thiết








(đpcm)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên
ta đều có:


Giải:

bất đẳng thức cần chứng minh đúng với
.
Với
, đpcm
(1)
Ta có :












( đpcm).
Ví dụ 3:
Cho
. Chứng minh:

Giải:








Dấu “
” xảy ra
hoặc 2 trong 3 số
bằng 1, số còn lại bằng 0
4.Sử dụng tam thức bậc 2:
Ví dụ:
Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện
, ta luôn có:

Giải:
- Nếu
thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng.
- Nếu
thì
với
và
đpcm



Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với



nên (1) đúng
( đpcm)
5.Phương pháp quy nạp:
Ví dụ:
Chứng minh rằng với
thì


Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên.
Giải:
Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây:
Với
.
Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n):
- Với
( do
.
- Giả sử khẳng định đúng với
,