Qh giữa đs và lg

PHẦN III: LƯỢNG GIÁC ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ
------------------------------
CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC
Lượng giác và đại số là hai bộ môn của toán học, nhìn bề ngoài thì có vẻ như là không liên quan đến nhau nhưng thực sự là chúng có mối liên hệ mật thiết với nhau. Một số bài toán lượng giác nếu giải theo những biến đổi lượng giác thông thường để đưa về phương trình cơ bản thì rất mất thời gian và có thể là sẽ giải không được. Trong khi đó nếu giải bằng phương pháp đại số thì nhanh hơn và trong đại số cũng vậy,cũng nhiều lúc cần phải nhờ đến lượng giác. Ta sẽ xét một số bài toán sau để nhìn thấy được mối liên hệ giữa lượng giác và đại số.
--------------------------------------------
BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải phương trình
a)
.
b)
.
Lời giải
Điều kiện xác định:
.
Đặt
với

Ta có phương trình:







(1)
Giải (1), kết hợp với điều kiện
ta được


Đặt
với
.
Ta có phương trình:







(2)
Vì
nên phương trình (2) có nghiệm là

tức là

Nhận xét: với những bài toán ta thấy điều kiện để phương trình có nghĩa là
thì ta nên đặt
hoặc
để được phương trình đơn giản hơn.

Bài 2: Giải phương trình


Lời giải
Điểu kiện
phương trình viết thành












Phương trình (a) có họ nghiệm thỏa



Để giải (b) đặt
nên(b) viết thành


Suy ra





Bài 3: Tìm những nghiệm của phương trình

nằm trong khoảng

Lời giải
Điều kiện

Đặt
với

Ta có phương trình







(1)
Giải phương trình (1) kết hợp với điều kiện
ta được các nghiệm




Bài 4: Giải phương trình

với

Lời giải
Đặt

Phương trình đã cho trở thành




(do
nên
)





Đặt

Ta có phương trình bậc hai




Vì
nên:

Và

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:

Bài 5: Giải phương trình



Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với:


Chia hai vế phương trình cho
ta được



Đặt
thì
trở thành:






Vậy phương trình có nghiệm duy nhất:

Nhận xét:biến đổi biểu thức đại số thành dạng công thức lượng giác cộng với diều kiện bài toán để ta có những cách đặt cho thích hợp.


Bài 6: Giải phương trình


Lời giải
Phương trình có thể viết lại:

(1)
Điều kiện:
. Đặt
, điều kiện

Phương trình (1) trở thành


Đặt
. Điều kiện:

Ta có hệ

Trừ theo từng vế ta có:
(2)
Xét hàm
phương trình (2) có dạng
(3)
Rõ ràng
đồng biến trên
, suy ra (3)

Thay vào hệ phương trình cuối ta có:

(4)
Xét hàm
. Tập xác định
.

.
Phương trình (4) không có quá hai nghiệm
Lại thấy
.
Suy ra phương trình (4) có nghiệm là


(loại do
)
Vậy


Bài 7: Giải phương trình


Lời giải
Điều kiện:

Đặt
(1)


Phương trình đầu trở thành
. (2)
Đặt tiếp
(3), điều kiện

Suy ra:






Phương trình (2) trở thành


(4)
Do
nên (12)

Với
thay vào (3) ta có:


Thay vào (1) ta có
.
Với
thay vào (1) ta có:




Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

Bài 8: Giải bất phương trình

(1)
Lời giải
Từ vế trái của (1) ta thấy x phài thỏa mãn cácđiều kiện
và
. Kết hợp hai điều kiện lại sẽ là
, suy ra
.
Đặt
với
, bất phương trình (1) trở thành


Lại đặt
ta được:


(2)
Vì
nên từ (2)