PT vô tỷ

CHỦ ĐỀ 1.
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I. Giải phương trình vô tỉ bằng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả.
A. Lý thuyết:
1)

2) Dạng:

3) Dạng:
.
* Nếu A+B = C+D (hoặc A.B = C.D) thì bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương.
* Nếu A+C = B+D (hoặc A.C = B.D) thì phải đưa phương trình về dạng:
sau đó bình phương hai vế, tìm nghiệm sau đó thử lại để chọn nghiệm.

4) Dạng:

* Lập phương hai vế ta được:
.
Sau đó thay thế:
vào phương trình, ta được:

Chú ý: sự thay thế này có thể dẫn đến nghiệm ngoại lai, vì vậy phải thử lại nghiệm.

B. Bài tập:
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
2)

3)
4)


Bài 2. Giải các phương trình:
1)
2)

3)
4)


Bài 3. Giải các phương trình:
1)
2)

3)


Bài 4. Giải các phương trình sau:
1)
2)

3)
4)

II. Giải phương trình vô tỉ bằng cách trục căn thức.
* Áp dụng cho các trường hợp sau:
- Đưa được về dạng đơn giản hơn.
- Nhẩm được phương trình có một nghiệm x = x0.

Bài tập:
Giải các phương trình sau:
1)
2)

3)


III. Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng đại số:

Bài 1. Giải các phương trình:
1)
2)

3)
4)


Bài 2. Giải các phương trình
1)
2)


Bài 3. Giải các phương trình:
1)
2)


Bài 4. Giải các phương trình:
1)
2)


Bài 5. Giải các phương trình:
1)
2)



Bài 6. Giải các phương trình:
1)
2)

(HD: Chia cả hai vế cho x )
Dạng 2. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng lượng giác:
* Có thể áp dụng cho các phương trình mà ĐK của biến số thuộc một đoạn [a; b]
Giải các phương trình:
1)
2)
(Chia 2 vế cho x3)
3)
(Đặt (x-1) = sint)
4)
5)
(lập phương 2 vế)
6)

Dạng 2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:

Bài 1. Giải các phương trình:
1)
2)

3)
4)

Bài 2. Giải các phương trình:
1)
,(y =
) 2)
, (y-1 =
)
3)
, (y-3 =
) 4)

IV. Một số bài toán về phương trình vô tỉ có chứa tham số:

A. Lý thuyết :
* Phương trình : f(x) = m có nghiệm trên tập D

* Chú ý : Xét bài toán : tìm m để phương trình f(x,m)=0 có nghiệm, ta có thể làm như sau :
Bước 1 : Tìm ĐK tồn tại của phương trình, giả sử x thuộc tập D (tập D là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
Bước 2 : Đưa phương trình f(x,m) = 0 về dạng g(x) = m.
Bước 3 : Xét sự biến thiên, tìm GTLN và GTNN nếu có, của g(x) trên tập D.
Bước 4 : Lâph BBT, từ BBT suy ra ĐK có nghiệm của phương trình.
* Thường thì đây là các bài toán ta phải đặt ẩn phụ (như các dạng đã được nêu trong phần giải phương trình vô tỉ trên đây), Chú ý rằng ĐK của ẩn phụ phải chính xác.

Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

Giải:
Với ĐK
, phương trình đã cho


x3 – 4x2 – 3x – 1 = – m <=> f(x) = - m. (1