Phương trình nghiệm nguyên

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DẠNG ĐA THỨC


Các dạng phương trình nghiệm nguyên đa thức:
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
2. Phương trình bậc 2 hai ẩn
3. Phương trình bậc cao hai ẩn
4. Phương trình đa thức nhiều ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
- Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
- Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia.
- Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x
- Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t1, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t1
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên

Ví dụ 1:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
11x+18y=120
Giải:
Ta thấy 11x⋮6 nên x⋮6. Đặt x=6k (k nguyên).
Thay vào (1) và rút gọn ta được: 11k+3y=20
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:
y=20−11k3
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
y=7−4k+k−13
Lại đặt k−13 =t với t nguyên suy ra k=3t+1. Do đó:
=7−4(3t+1)+t=3−11tx=6k=6(3t+1)=18t+6
Thay các biểu thức của x và y vào (1), phương trình được nghiệm đúng.
Vậy các nghiệm nguyên của (1) được biểu thị bởi công thức:
{=18t+6y=3−11t với t là số nguyên tùy ý

2. Phương trình bậc 2 hai ẩn
Ví dụ 2:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
5x–3y=2xy–11
Giải:

Biểu thị y theo x:
(2x+3)y=5x+11
Dễ thấy 2x+3≠0 (vì x nguyên ) do đó:
y=5x+112x+3=2+x+52x+3
Để y∈Zphải có x+5⋮2x+3
⇒2(x+52x+3
⇒2x+3+7⋮2x+3
⇒7⋮2x+3
Nên (x,y)=(−1,6),(−2,−1),(2,3),(−5,2)
Thử lại các cặp giá trị trên của (x,y) đều thỏa mãn phương trình đã cho.

Ví dụ 3:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
x2−2x−11=y2
Giải:
Cách 1: Đưa về phương trình ước số:
x2−2x+1−12=y2
x−1)2−y2=12
x−1+y)(x−1−y)=12
Ta có các nhận xét:
Vì (1) chứa y có số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng y⩾0.
Thế thì x−1+y⩾x−1−y
(x−1+y)−(x−1−y)=2y nên x−1+yvà x−1−y cùng tính chẵn lẻ.
Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn.
Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp:
(x−1+y,x−1−y)=(6,2),(−2,6)
Do đó: (x,y)=(5,2),(−3,2)
Đáp số: (5;2),(5;−2),(−3;2),(−3;−2)

Cách 2: Viết thành phương trình bậc hai đối với x:
x2−2x−(11+y2)=0
Δ′=1+11+y2=12+y2
Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên:
Δ′ là số chính phương ⇔12+y2=k2(k∈N)
⇔k2−y2=12k+y)(k−y)=12
Giả sử y⩾0 thì k+y ⩾k–y và k+y⩾ 0
(k+y)–(k–y)=2y nên k+y và k–y cùng tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn.
Từ các nhận xét trên ta có:
{+y=6k−y=2
Do đó: y=2
Thay vào (2): x2−2x−15=0
⇒x1=5,x2=−3
Ta có bốn nghiệm: (5;2),(5;−2),(−3