Phương trình lượng giác có tham sô-11

CHUYÊN ĐỀ 2
GIẢI VÀ BIỆN LUẬN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ

Giải phương trình lượng giác là một chủ đề khó trong Chương trình Toán THPT, mặc dù trước đây ở các lớp dưới các em đã làm quen với khái niệm tỉ số lượng giác và dần hình thành các bài toán ngược của phương trình lượng giác dạng : dạng
, tương tự cho cos, tan, cot.
Tuy nhiên đến Chương I –Hàm số lượng giác-Phương trình lượng giác ( Toán 11) các em mới tiếp thu toàn diện và đầy đủ hơn về phương trình loại này.Thực tế, sau khi học hết chương, các em vẫn còn nhiều điều chưa rõ: Nghiệm của phương trình sao có vẽ trừu tượng quá, Sao lại là nghiệm bội,Sao lại là họ nghiệm… Phương trình không chứa tham số đã thế, thì phương trình chứa tham số “ khó “ hơn thế nào ?
Để tìm hiểu nhiều hơn về dạng toán này, tôi xin trình bày một vài lý thuyết đơn giản và một số bài toán cơ bản về giải và biện luận phương trình lượng giác chứa tham số.

I-Một số nội dung lý thuyết cơ bản
1-Nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
-Nếu (α là một nghiệm của phương trình, thì :







2-Giải và biện luận theo tham số m

a) Dạng f(sinx,cosx)…) = m .
-Biến đổi phương trình đã cho thành dạng :

-Xét chiều biến thiên của f(x) , lập bảng, xét nghiệm.
b)-Khi phương trình được qui về dạng :


-Nếu

-Nếu

-Nếu

II-Các bài toán.
1-Bài toán 1- Cho
(1)
a)-Giải phương trình khi

b)-Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Giải.
a)-
(1’)
Điêu kiện :

Đặt :



Thay vào (1’), được:

+Khi
, từ (*) , có :

Với

Vậy khi
thì phương trình có nghiệm
.
b) Xác định m để pt có nghiệm.
Từ (*) :

-Đặt

Khi đó phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y = m và đồ thị hàm số (**) có điểm chung.
+Xét

+Lập bảng biến thiên của

t
-∞ -2 -1 0 1 2

y’
 - 0 + + - -

y
+∞

-∞


-Kết luận nghiệm :
Vậy :

2-Bài toán 2- Cho
(1)
a)-Giải phương trình khi = 1.
b)-Tìm m để pt có ít nhất 1 nghiệm ( x ≠ kπ )
Giải.
a)-Khi m = 1.

(1’)
Ta tính :

Thay vào (1’) :



Giải (*) được :

Vậy khi
phương trình có nghiệm
hay

b)-Xác định m để pt có ít nhất 1nghiệm ( x ≠ kπ ).
Biến đổi tương đương (1) :








Để giải (*) , ta đặt



Xét :

Lập bảng biến thiên.
t
-∞ -1
1

f’(t)
 - 0 +

f(t)
5





Vậy : Để pt có ít nhất 1 nghiệm (x ≠ kπ ) thì


3-Bài toán 3- Cho
(1)
a)-Giải phương trình khi m = 17.
b)-Xác định các giá trị của m để pt vô nghiệm.
Giải.
a)-Đặt

Do đó :



-Tính :


Lập bảng biến thiên.
t
-∞
0


y’
 -- +

y
 17 1




*P.trình (1) vô nghiệm khi (1’) vô nghiệm trên
khi đó

*Khi m=17 thì pt (1’) có đúng 1 nghiệm
là

Nếu


Vậy : - khi m = 17 pt có nghiệm là :

- pt vô nghiệm khi


4-Bài toán 4- Cho hàm số
,
Tìm giá trị của m để y đạt giá trị nhỏ nhất ?

Giải.
Biến đổi tương đương



Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số y , -k , cosx, sinx
Ta được :



Để



Xin cảm ơn quí thầy, cô