Phương trình hàm ôn hs giỏi

Mở đầu

Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học. Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú, bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phương trình phi tuyến, phương trình một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm.
Trong các kỳ thi olympic toán quốc gia và quốc tế, olympic toán khu vực, thường xuất hiện các dạng toán khác nhau có liên quan đến phương trình hàm. Tuy nhiên cho đến nay, học sinh các trường chuyên, lớp chọn còn biết rất ít về các dạng phương trình hàm và các phương pháp chính thống để giải các phương trình hàm.
Dưới đây là một số bài toán xác định các hàm số chuyển đổi một số dạng trung bình thường gặp và phương pháp giải các bài toán đó.


























Nội dung

Từ cặp số dương x, y chúng ta có thể lập vô số các đại lượng trung bình. Dưới đây, chúng ta sẽ xét một số bài toán xác định các hàm số chuyển đổi một số dạng trung bình thường gặp trong chương trình toán học ở bậc phổ thông như các đại lượng trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hoà, trung bình bình phương. Những đại lượng này được sắp xếp theo thứ tự sau.

.
Bài toán 1.(phương trình một ẩn hàm)
Xác định các hàm số
liên tục trên R và thoả mãn điều kiện

(1)
Giải: Đặt
(2). Thế vào (1), ta được

(3)
Cho y = 0 thì
.
Vậy (3) có dạng:

(4)
Do
liên tục nên
cũng liên tục.Vậy (4) là phương trìmh hàm Cauchy.
Vì vậy
. Thay vào (2), ta được
, với

Vậy
, với
.
Bài toán 2. (phương trình hai ẩn hàm tương ứng)
Xác định các cặp hàm
liên tục trên R và thoả mãn điều kiện

(1)
Giải: Xét y = 0, từ (1) ta thu được
, trong đó

Thế vào (1), ta được

(2)
Đặt
, thì (2) có dạng



(3)
Nhận xét rằng
là hàm liên tục vì
là các hàm liên tục.
Vậy (3) là phương trình hàm Cauchy. Do đó (3) có nghiệm

. Suy ra
tuỳ ý.
Thử lại, ta thấy cặp hàm
thoả mãn điều kiện bài ra.
Bài toán 3. (phương trình một ẩn hàm)
Xác định các hàm số
liên tục, không âm trên R và thoả mãn diều kiện:
(1)
Giải: Giả sử tồn tại
để
. Khi đó


Hàm này thoả mãn điều kiện bài ra.
Xét trường hợp
. Từ gỉa thiết suy ra
>0
.
Lấy lôgarit hai vế của (1), ta được
hay
, trong đó

Theo kết quả của bài toán (1) thì
tuỳ ý.
Suy ra
tuỳ ý
Vậy
;
tuỳ ý
Bài toán 4. (phương trình 2 ẩn hàm tương ứng)
Xác định các cặp hàm
liên tục, không âm trên R và thoả mãn điều kiện:
(1)
Giải: Giả sử tồn tại
để
. Khi đó



Từ (1) suy ra

Cặp hàm này thoả mãn điều kiện bài ra.
Xét trường hợp

Xét y = 0, từ (1), ta thu được
, trong đó
. Thế vào (1), ta được

hay
(2)
Lấy lôgarit hai vế của (2), ta được

hay

, trong đó
(3)
Áp dụng cách giải bài toán 2, ta thu được

Suy ra
, trong đó
.
Thử lại , ta thấy cặp hàm
thoả mãn điều kiện bài ra.
Bài toán 5. (phương trình một ẩn hàm)
Xác định các hàm số
liên tục, dương trên R và thoả mãn điều kiện

(1)
Giải: Viết (1) dưới dạng

hay

hay
(3)
trong đó

Từ giả thiết ta có nhận xét rằng
>0 và liên tục trên R.
Áp dụng cách giải bài toán 1, ta được
. Ta cần chọn a, b sao cho
>0,
.
Chọn a = 0, b > 0. Khi đó
> 0,

Vậy
> 0 tuỳ ý
Bài toán 6. (phương trình hai ẩn hàm tương ứng)
Xác định các cặp hàm
liên tục, dương trên R và thoả mãn điều kiện
(1)
Giải: Xét y = 0, từ (1), ta có