Phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình vô tỉ

Phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình vô tỉ
-----------------------
Một số trường hợp thường gặp
Dạng 1 : Nếu x2 + y2 =1 thì đặt
với

Dạng 2 : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) thì đặt
với

Dạng 3 : Nếu
thì đặt

Dạng 4 : Nếu
thì đặt

Dạng 5 :Nếu
hoặc bài toán có chứa
thì đặt x=
với

Dạng 6 :Nếu
hoặc bài toán có chứa
thì đặt x =
với

Dạng 7 :Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức
thì đặt x = tan
với

Dạng 8 : Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức
thì đặt x = m tan
với


I. chứng minh đẳng thức , bất đẳng thức

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có:


Giải:
Đặt: a = tg( , b = tg( với (, ( (
.
Khi đó: A =

= cos2( cos2 ( .

= sin (( + () . cos (( + () =
sin (2( + 2()
Suy ra: (A( =
(sin (2( + 2() (

Vậy: -
(
(
(đpcm).
Bài 2:
Chứng minh rằng nếu (x( < 1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có:
(1 + x)n + (1 – x)n < 2n (1)
Giải:
Vì (x( < 1 nên có thể đặt x = cost với t ( (0; ()
và bất đẳng thức (1) được viết thành:
(1 + cos t)n + (1 – cos t)n < 2n (2)
Thay trong (2) 1 + cos t = 2cos2
và 1 – cost = 2sin2
ta được
2n
< 2n (3)
Bởi vì 0 <
<
nên 0 < sin
, cos
< 1 nên chắc chắn:
cos2n
=
< cos2
(n > 1. Tương tự ta có:
sin2n
< sin2
(n > 1. Do đó
2n
< 2n
= 2n
Vậy bất đẳng thức (3), cũng có nghĩa là bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Bài 3: Chứng minh rằng từ 4 số thực cho trước ta luôn luôn chọn được hai số x, y trong 4 số đó sao cho:
0 (
( 1 (1)
Giải:
Giả sử 4 số thực cho trước
là a ( b ( c ( d
Đặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với
-
< y1 ( y2 ( y3 ( y4 <
< y5 = ( + y1
Các điểm y1, y2, y3 chia đoạn [y1; y1 + (] thành 4 đoạn [y1; y2], [y2; y3], [y3; y4] , [y4; y5]. Trong số 4 đoạn này phải có ít nhất một đoạn có độ dài không lớn hơn
. Giả sử 0 ( y2 – y1 (
. Thế thì:
0 ( tg (y2 – y1) ( 1 ( 0 (
( 1
Đặt x = b, y = a ta được điều cần chứng minh.
Bài 4: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh:


Giải:
Ta có: x + y =
= 1, theo mệnh đề IV thì có một số a với 0 ( a ( 2( để
= cosa và
= sina.
Bất đẳng thức đã cho được viết thành:

+
(

Ta có: cos4a +
+ sin4a +
= (cos4a + sin4a)

= (1 – 2sin2acos2a)
=

Vì 0 < sin22a ( 1 nên 1 -
(

và 1 +
( 17. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Bài 5: Chứng minh với mọi cặp số thực x, y ta luôn có:
x2 + (x – y)2 ( 4
sin2
.
Giải:
Theo cách tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng bảng ta có:
4sin2
= 2
.
Bất đẳng thức đã cho có thể viết:
x2 + (x – y)2 ( (x2 + y2)
(1)
Nếu y = 0 bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng.
Nếu y ( 0. Chia hai vế (1) cho y2 và đặt
= tga với
< a <
thì bất đẳng thức có dạng: tg2a + (tga – 1)2 (
(1 + tg2a)
( sin2a +