Phuong phap luong giac hoa

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
Trần Phạm Hoàng Long, Nguyễn Xuân Trung, Đinh Ngọc Hồ,Huỳnh Thị Thùy Như
Lớp 10T1 trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long
Email: [email protected]

I/ Lời mở đầu
Để giải các bài toán đại số và một số bài toán giải tích như chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, khảo sát các giá trị của hàm số, tìm giới hạn của dãy số,...trong một số trường hợp ta có thể chuyển chúng sang các bài toán lượng giác, công việc đó được gọi là lượng giác hóa.Việc lượng giác hóa 1 bài toán được tiến hành thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến tham gia trong bài toán, mà việc nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị và các công thức lượng giác thông dụng. Sau đây là một số dấu hiệu cơ bản nhằm góp phần giúp chúng ta phát hiện và định hướng phương pháp lượng giác hóa hiệu quả hơn.

II/ Các dấu hiệu
Ta có các dấu hiệu:

Nếu có điều kiện của biến
là

, ta có thể đặt:

, với
hoặc
, với
.
Trong trường hợp riêng:
Nếu
, ta có thể đặt:

, với
hoặc
, với
.
Nếu
, ta có thể đặt :

, với
hoặc
, với
.

Nếu có điều kiện của biến
là

, ta có thể đặt:

, với
hoặc
, với
.


Nếu biến
, ta có thể đặt:

, với
hoặc
, với
.
Trong trường hợp riêng:

Nếu
, ta có thể đặt:

, với
hoặc
, với
.
Nếu
, ta có thể đặt :

, với
hoặc
,với
.

Nếu hai biến
thỏa mãn điều kiện
, với
, ta đặt :




Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của
và
ta có thể hạn chế góc
, ví dụ nếu có
thì
.
III/ Các biểu thức thường được lượng giác hóa

Biểu thức
Cách lượng giác hóa biểu thức




với
hoặc

với






với
hoặc

với





với
hoặc

với



hoặc












, với





IV/ Các ví dụ
1. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
1.1 Bài toán 1: Giải hệ phương trình:


Lời giải
Hệ tương đương với.

Nếu
vô lí;
vô lí.
Đặt
;
;
. Ta có

;
;

Khi đó:


Thay vào (4):



Ta có các trường hợp sau:


Nếu

Nếu

Nếu

Nếu

1.2 Bài toán 2: Cho hệ phương trình


Tìm nghiệm của hệ để
max
Lời giải
Đặt
;
;
;

. Khi đó:




Mà




vì

Khi đó:





Kết hợp với (1)
nghiệm là:


Kết hợp với (2)
nghiệm là:


1.3 Bài toán 3: Giải phương trình:


Lời giải
Ta có :
( phần CM xin để cho các bạn)
Do đó

Vậy phương trình đã cho tương đường với




1.4 Bài toán 4: Giải phương trình


Lời giải
Ta có




Do đó phương trình đã cho tương đương với hệ:


1.5 Các bài toán tự giải:
1.5.1 Giải phương trình


1.5.2 Giải hệ phương trình


1.5.3 Giải hệ phương trình


1.5.4 Giải hệ phương trình


1.5.5 Giải hệ phương trình


2. Bất đẳng thức
2.1 Bài toán 1: Cho bốn số
thoã mãn điều kiện

Chứng minh rằng


Lời giải
Đặt
và
.
Ta có






Vậy
(điều phải chứng minh)
2.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng


Lời giải
Điều kiện có nghĩa

Đặt
với

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng








2.3 Các bài toán tự giải
2.3.1 Bài toán 1: Cho
. Chứng minh rằng


2.3.2 Bài