Phương pháp giải toán hình học không gian Oxyz

A/ Cách chuyển phương trình của đường thẳng:
1/


2/

3/

B/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng


1/
cắt
2/

3/

Đặc biệt: Nếu

C/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng


1/ d và d’ đồng phẳng

2/ d và d’ cắt nhau

3/ d và d’ chéo nhau

4/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Cách 1:
- Viết pt mp (
) qua d và song song d’ (
)
- Tìm 1 điểm M
.
Khoảng cách giữa d và (d’) là

Cách 2:
Cũng là phương pháp tìm phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d và d’
Gọi MN là đoạn vuông góc chung
Đưa pt của d và d’ về dạng tham số


Giải hệ

Cách 3:
Dể tìm phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d và d’
Gọi
là đường vuông góc chung của (d) và (d’) chéo nhau



5/ Tìm phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nhưng vuông góc nhau
Viết pt mp (
) chứa d
d’

- Viết pt mp (
) chứa d’
d

Đường vuông góc chung (
) của (d) và (d’) là giao tuyến của (
) và (
). Phương trình của (
) là:

6/ Viết phương trình mp chứa hai đường thẳng đồng quy
Giả sử
.
Tìm 1 VTCP
của (d)
Tìm 1 VTCP
của (d’)

. Mp(
) đi qua M
pttq(
)
7/ Viết phương trình mp chứa hai đường thẳng song song
Giả sử (d) // (d’)
Tìm
và

Tìm
và


. Mp(
) đi qua A (hoặc B)
pttq(
)
8/ Viết phương trình đt (
) qua A, vuông góc (d1) và cắt (d2)
Viết pt mp(
) qua A và vuông góc (d1)
Viết pt mp(
) qua A và chứa (d2)
Phương trình của (
) là:

9/ Viết phương trình đt (
) qua A, cắt cả (d1) và (d2)
Viết pt mp(
) qua A và chứa (d1)
Viết pt mp(
) qua A và chứa (d2)
Phương trình của (
) là:

10/ Viết phương trình đt (
) qua A, vuông góc (d) và nằm trong mp(
)
Viết pt mp(
) qua A và vuông góc với (d)
Phương trình của (
) là:

11/ Viết phương trình đt (
) qua A song song đường thẳng (d) và cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2)
Viết pt mp(
) chứa (d1) và // (d) (
)
Viết pt mp(
) chứa (d2) và // (d) (
)
Phương trình của (
) là:

12/ Viết phương trình đt (
) qua A song song mp (P) và vuông góc với (d)
- Tìm VTCP của đường thẳng (
)

- (
) đi qua A
ptct của đường thẳng (
)
13/ Viết phương trình đt (
) vuông góc mp(P) và cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2)
Viết pt mp(
) chứa (d1) và
(
)
Viết pt mp(
) chứa (d2) và
(
)
Phương trình của (
) là:

D/ Khoảng cách
1/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (d1 // d2)
Tìm A

Viết ptmp (
) qua A và


Tìm giao điểm H của (
) và

Khi đó khoảng cách giữa
và
là đoạn AH.
E/ Mặt cầu
1/ Mặt cầu đi qua đường tròn (C) và điểm M
TH1 : (C) = (S)
(P)
. Tìm
bằng cách thay tọa độ M vào (S’)
TH2 : (C) = (S1)
(S2)
. Tìm
bằng cách thay tọa độ M vào (S’)
2/ Cách lập phương trình của mp qua một đường thẳng và tiếp xúc mặt cầu
- Đưa ptđt (d) về dạng tổng quát:

- mp(
) chứa (d) có dạng:
(*)
- Dùng đktx:
. Thay
vào (*) được ptmp phải tìm
F/ HÌNH CHIỂU, ĐỐI XỨNG
1/ Cách tìm hình chiếu của điểm M lên mp(
) và cách tìm điểm M’ đối xứng của M qua mp(
)
Viết ptđt (d) qua M và
mp(
).
Giải hệ
tìm được tọa độ hình chiếu H của M trên mp(
).
Từ

2/ Cách tìm hình chiếu của điểm M lên đt (d) và cách tìm điểm M’ đối xứng của M qua đt (d)
Viết pt mp(
) qua M và
đt(d).
Giải hệ
tìm được tọa độ hình chiếu H của M trên đt (d)
Từ

3/ Trình bày cách tìm hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng và cách viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng của (d) qua mặt phẳng (
).
TH1 : (d) cho bởi ptts
Viết pt mp(
) chứa (d) và vuông góc mp(
).
Suy ra ptđt (d’):

TH2: (d) cho bởi pttq

pt mp(
) chứa (d) và vuông góc mp(
) có dạng:
(
):


(*)
Tìm
bằng cách giải

TH3: Nếu biết giao điểm A của (d) và (
)
Tìm điểm B
(d)
Viết phương trình tham số của đường thẳng
qua B và vuông góc với mp(
)
Thế
vào (
) suy ra t.
tọa độ hình chiếu H của B lên (
).
Suy ra hình chiếu (d’) của (d) là đường thẳng qua 2 điểm A và B’.
Cách viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng của (d) qua mặt phẳng (
)
- Giải

tọa độ B’ đối xứng của B qua (
). Khi đó phương trình AB’ chính là phương trình đường thẳng (d’) đối xứng của (d) qua mặt phẳng (
).
GHI CHÚ
1/ Chứng minh A, B, C, D lập thành một tứ giác ta chứng minh A, B, C, D đồng phẳng

2/ Chứng minh A, B, C, D lập thành một tứ diện ta chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng

3/ Diện tích tam giác ABC là
;
4/ Thể tích tứ diện A. BCD là
;
5/ Thể tích hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là