Ôn thi học sinh giỏi (Chia hết số nguyên)

CHIA HẾT SỐ NGUYÊN :

I/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1/ a chia hết cho m, b chia hết cho m, c chia hết cho m, thì (a+b+c) chia hết cho m.
2/ a chia hết cho b ( a = bq
a không chia hết cho b ( a = bq + r
3/ (a,b) = 1 và a.c chia hết cho b => c chia hết cho b
4/ c chia hết cho a, c chia hết cho b, và (a,b) = 1 => c chia hết cho a.b
5/ a chia hết cho m, b chia hết cho n, thì a.b chia hết cho m.n

II/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI :

1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p

Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho 5
n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5
a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5
b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5

2/ Phương pháp 2 : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q
a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q
b/ Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q

3/ Phương pháp 3 : Để chứng minh A(n)
m có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạng tữ chia hết cho n.

4/ Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n)
m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n)
+ Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức :
an – bn
a – b ( a
b) n bất kỳ.
an – bn
a – b ( a
- b) n chẵn.
an + bn
a + b ( a
- b) n lẻ.

5/ Chứng minh bằng quy nạp toán học :
1/ Với n = 1 ta xét bài toán đúng hay không
2/ Giả sử bài toán đúng với n = k
3/ Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 ( Lưu ý thường là sử dụng điều giả sử 2/)

Ví dụ CMR 16n – 15n – 1
225
n
N*
+ Với n = 1 ta có 16 – 15 – 1 = 0
225
+ Giả sử bài toán đúng với n = k tức là ta có :
16k – 15k – 1
225
Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1
Thật vậy : 16k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16k – 15k – 15 – 1 =
= ( 15+1 ) 16k – 15k – 15 – 1 =
= (16k – 15k – 1) + 15. 16k – 15
Theo giả thiết qui nạp thì : 16k – 15k – 1
225
Còn 15. 16k – 15 = 15(16k – 1)
Mà (16k – 1)
( 16 – 1) = 15
15(16k – 1)
15.15