Ôn tập Toán 12 cực hay./.

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 12
PHẦN I : GIẢI TÍCH

I/ Đạo hàm : Kiến thức : Qui tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (SGK), các bài toán liên quan : + Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
+ Chứng minh đẳng thức
+ Giải pt, bất pt
Áp dụng :
VD 1: Tính đạo hàm của y= cos2x – sin2x tại x =
Có y’ = -2cosx.sinx - 2cos2x

Nên y’( ) = -2cos . sin - 2cos2

( y’( ) = -1


BT tự giải : Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

1/ y = sin2x tại x = ( b/ y = tgx – cotgx tại x =

2/ y = (2x2 -5x +1)2 tại x = -2 d/ y = tại x = 2

3/ y = cos3x.sin2x tại x = - f/ y = tại x =


4/ y =ln(x+ ) tại x = 1 h/ y = e2x+1.sinx tại x = 0

☺(HD : Tính y’, rồi thay giá trị x đã cho vào biểu thức y’ để có kết quả.

VD 2 : Cho y = x.esinx cmr : y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.esinx = 0
Có : y’ = esinx + x.cosx.esinx
y” =cosx.esinx +cosx.esinx -x.sinx.esinx + x.cos2x.esinx
nên y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.esinx = 2cosx.esinx -x.sinx.esinx+x.cos2x.esinx–(esinx+ x.cosx.esinx )cosx +x.sinx.esinx -cosx.esinx =0 (đpcm)

BT Tự giải :
1/ Cho y = ex.cosx cmr : 2y - 2y’ + y” = 0
2/ Cho y = ln2x cmr : x2y” +xy’ =2

3/ Cho y = . Cmr : x3 y’ = y3

4/ Cho y = (x-x2).ex giải pt y’ + ex = 0

5/ Cho y =x2.ln giải pt y’ – x = 0

6/ Cho y = x - . Giải bất phương trình y’ > 0

☺( HD : Tính các đạo hàm (y’, y”…) có mặt trong biểu thức (pt-bpt) cần cm (giải) rồi thay vào biểu thức (pt-bpt), thu gọn lại để có điều cần cm (pt-bpt đã biết cách giải).

II/ HÀM SỐ : Kiến thức : Xét sự biến thiên, tính lồi, lõm-điểm uốn, tiệm cận của 4 hàm số và phương pháp giải các dạng toán cơ bản liên quan :
A. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
1/ Điều kiện để h.số đơn điệu (đồng biến/nghịch biến)
Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D thì
+ Đồng biến trên D ( y’ ≥ 0 (x( D
+ Nghịch biến trên D ( y’ ( 0 (x( D
ÁP DỤNG :
VD : Cho y = x3 -3mx2 –mx + 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên TXĐ
TXĐ : D=R
y’ = 3x2 -6mx –m
y’ = 0 có (’ = 9m2 +3m
Hàm số đồng biến trên R ( y’ ≥ 0 (x(R
( (’ = 9m2 +3m ( 0 ((’ là tam thức bậc 2 có hệ số a=9>0)
( -
( m ( 0
Kết luận : -
( m ( 0
Bài tập tự giải: Tìm m để hàm số :
a/ y = x3 – 3mx2 (m+2)x –m đồng biến trên TXĐ
b/ y = mx3 +x2 + (2m-1)x + 3m nghịch biến trên TXĐ

c/ y = nghịch biến trên từng khoảng xác định

d/ y = đồng biến trên từng khoảng xác định

e/ y = nghịch biến trên từng khoảng xác định

☺(HD : + Xét trường hợp đặc biệt nếu có (hệ số của x có mũ cao nhất bằng 0)
+ Giải điều kiện đồng biến, nghịch biến theo đặc điểm của hàm số đó.

2/ Cmr hàm số đơn điêïu (đồng biến, nghịch biến) :
VD : Cmr